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数学の問題です。
関数fのグラフ上で、(a,1)がグラフの変曲点になるとき、常に成り立つ法則を下から選び理由答えてください。(f(a)=0,f'(a)=0,f"(a)=0,fは、x=aで極大値or極小値をとる。f'は、x=aで極小値をとる。)

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:グラフ 数学 法則 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●27ポイント

f'(a)=0

f''(a)=0

ですね。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● kosuke2020
●30ポイント ベストアンサー

関数fのグラフは点(a,1)で変曲するので、

f(a)=1f''(a)=0 よって、f(a)=0は成り立たない。

また、f''(a)=0であっても、f'(a)=0となるとは限らない。

(例:f''(x)=x-aのとき、f'(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+C(Cは積分定数)となり、f'(a)=-\frac{1}{2}a^2+Cなので、a=0かつC=1のときf'(a)=1となり、常にf'(a)=0となるとは限らない。)

よって、f'(a)=0は常には成り立たない。

また、以上の結果から、常にx=aで極値をとるとも限らない。


g(x)=f'(x)とおいた場合、g'(x)=f''(x)となるが、

f''(a)=0g'(a)=0

g(x)x=aで必ず極値を持つ

⇔∴f'(x)x=aで必ず極値を持つ

しかし、x=aの近傍でのf''(x)の符号はわからず、x=aでのf'(x)の極値は常に極小値であるとは限らない。(極大値の場合もある)

以上より、常に成り立つのは、

f''(a)=0

のみである。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


3 ● yo-kun
●29ポイント

すみません、間違えてました&理由を書いてませんでした。

申し訳ありません。ポイントは不要です。

常に成り立つのはf''(x)のみです。


変曲点とはf''(x)の符号が入れ替わる点です。


×f(a)=0

f(x)=x^3+1はx=0で変曲点を持ちますがf(0)=1


×f'(a)=0 成り立たない。

f(x)=x^3+xはx=0で変曲点を持ちますがf'(0)=1


○f''(a)=0 成り立つ。

定義より充分小さなε>0に対して

f''(a-ε)<0かつf''(a+ε)>0(またはf''(a-ε)>0かつf''(a+ε)<0)

ε→0とすることで

f''(a)≦0かつf''(a)≧0(またはf''(a)≧0かつf''(a)≦0)

どちらにしてもf''(a)=0


×x=aで極大値or極小値を取る。

f(x)=x^3はx=0で変曲点を持ちますが極大値も極小値も取りません。


×f'(x)はx=aで極小値を取る。

f(x)=-x^3はx=0で変曲点をもちますがf'(x)はx=0で極大値をとります。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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