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nが自然数で5^(2n)+5^nが13で割りきれるとき、nはどのような数ですか?

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:自然数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● KazuhisaNagata
●35ポイント

5^{2n}+5^{n}=5^{n}\left(5^{n}+1\right)なので、1)5^n

が13で割り切れるか、2)5^{n}+1が13で割り切れれば答えになります。

そうすると、1)の場合は5も13も素数なので割り切れないことが明らか。2)の場合はn=1,2,\cdots,10のとき5^{n}+1=6,26,126,626,3126,15626,78126,390626,1953126,9765626であるので[n=2,6,10,\cdots]のとき割り切れる。すなわち、nは初項2、公差4の等差数列のように見えるので、実際次の項であるn=14でチェックしてみると\left(5^{14}+1\right)/13=6103515626/13=46950102と割り切れるのが確認できた。

つまり、問題で問うているnは"初項2、公差4の等差数列である"が答えです。

これで参考になりますか?

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● Mook
●36ポイント ベストアンサー

簡単な説明ですが、下記のような感じになるかと思います。

nが自然数で

(5^2n + 5^n) \equiv 0 \pmod{13}

5^n(5^n+1) \equiv 0 \pmod{13}

が成り立つということは、即ち下記が成り立つことと等価であり

5^n \equiv 12 \pmod{13}

これが最初に成り立つのは n = 2 のときである。


また 5^4 \equiv 1 \pmod{13} であることから、任意のxに対して

x \equiv (5^4)^kx \pmod{13} が成り立つ


このことから、5^n \equiv 12 \pmod{13} が成り立つのは、

n = 4k + 2 (kは0 以上の整数)

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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