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関数f(x)=(x^2-1)e^xの極地を求めてください。また、この曲線の変曲点のうちでx座標が最も大きいものを求めて下さい。またそこにおける接線の方程式を求めて下さい。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:いもの 方程式 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● kekkai
●40ポイント ベストアンサー

f(x)=(x^2-1)e^x

f'(x)=(x^2+2x-1)e^x

f'(x)=0⇔x=-1±√2

x ... -1-√2 ... -1+√2 ...
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極小 極大

極大値:f(-1+2√2)=(3-2√2)e^(-1+√2)

極小値:f(-1-2√2)=(3+2√2)e^(-1-√2)

f"(x)=(x^2+4+1)e^x

f"(x)=0⇔x=-2±√3

x座標が最も大きい変曲点:(-2+√3,2(3-2√3)e^(-2+√3)

y=f(x)とおくと、この点における接線の方程式は

y-f(-2+√3)=f'(-2+√3){x-(-2+√3)}

∴y={2(1-√3)e^(-2+√3)}x+2(8-5√3)e^(-2+√3)

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● kosuke2020
●35ポイント

f'(x)=(x^2-1)'e^x+(x^2-1)e^x'=2xe^x+(x^2-1)e^x=(x^2+2x-1)e^x

formdata=e^x>0 なので、f'(x)=0\Longleftrightarrow~x^2+2x-1=0x=-1\pm\sqrt{2}

∴極大値f(-1-\sqrt{2})=(2+2\sqrt{2})e^{(-1-\sqrt{2})}、極小値f(-1+\sqrt{2})=(2-2\sqrt{2})e^{(-1+\sqrt{2})}


f''(x)=(x^2+2x-1)'e^x+(x^2+2x-1)e^x'=(2x+2)e^x+(x^2+2x-1)e^x=(x^2+4x+1)e^x

formdata=e^x>0 なので、f''(x)=0\Longleftrightarrow~x^2+4x+1=0x=-2\pm\sqrt{3}

よって、x=-2\pm\sqrt{3}のときf(x)は変曲点をもち、求める接線のx座標はx=-2+\sqrt{3}である。

f(-2+\sqrt{3})=(6-4\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})},f'(-2+\sqrt{3})=(2-2\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})}

よって、求める接線の方程式は、

y=(2-2\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})}(x-(-2+\sqrt{3}))+(6-4\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})}

=(2-2\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})}x+(16-10\sqrt{3})e^{(-2+\sqrt{3})} (終わり)

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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