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0≦x≦π/2の範囲で、2曲線y=tanx,y=asin2xとx軸で囲まれた図形の面積が1となるように、正の定数aを求めて下さい。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:π/
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● Mook
●60ポイント ベストアンサー

y=\tan xy=a \sin 2t の交点を t とすると

\tan t = a \sin 2tより

2a = \frac{1}{\cos^2tが成り立つ。・・・?


また問題となる面積はtを分岐とする二つの曲線の積分の和であるから、

S(a) = \int_0^t{\tan{x}dx + \int_t^{\frac{\pi}{2}}~a\sin 2x dx

=\[-\lg \|{\cos x\|\]_0^t+\frac{a}{2}\[ -\cos 2x\]_t^{\frac{\pi}{2}}

=-\lg \({\cos t} \) + \lg 1 + \frac{a}{2} \( -\cos \pi + \cos 2t \)・・・?

ここで?を変形すると

\cos t = \sqrt{\frac{1}{2a}} が得られ、これを?に当てはめると、

S(a) = \frac{1}{2}\lg 2a + \frac{1}{2}となる。


ここで、求める方程式は

S(a) =1であるから

a = \frac{e}{2}が解となる

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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