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xが区間0≦x≦πにあるとき、2つの曲線y=sinxおよびy=asin2x(a≧0)で囲まれた部分の面積を求めて下さい。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● KazuyaMitsutani
●60ポイント ベストアンサー

基本的にxで積分してときます。

ですが、sinxとasin2xのどちらが大きいかによって非積分関数が変わるというのがちょっと面倒な点です。

そこでまずsinxとasin2xの交点を求めておきます。

交点のx座標をx0とすると

sinx0 = asin2x0

sinx0 = 2asinx0cosx0

cosx0 = 1/2a (1)

となります。つまり交点の座標は具体的には分かりませんが cosx0 が1/2aとなるような点です。x0より小さいxに関してはasin2xのほうが大きく、x0よりおおきいxに関しては sinx のほうが大きくなっています。

次にこのx0を用いて積分区間をわけて積分します。

そうすると

\large \int_0^{x_0}(a\sin 2x - \sin x)dx + \int_{x_0}^{\pi}(\sin x - a \sin 2x)dx

\large = \{-\frac{a}{2}\cos 2x + \cos x\}^{x_0}_0 +\{-\cos x + \frac{a}{2} \cos 2x\}^\pi_{x_0}

となります。但し積分の結果に関してですが、tex記法で"["や"]"を表示する方法を知らないので"{"および"}"で代用しています。ここで\cos 2x_0および\cos x_0は(1)よりそれぞれ

\cos x_0 = \frac{1}{2a}

\cos 2x_0 = 2\cos^2 x_0 -1 = \frac{1}{2a^2} -1

となる。

これらを代入すると結局

(面積)=2a + \frac{1}{2a}

となる。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


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