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a,bを定数とします。関数f(x)=ax^2+bx+cに対して定義域がx≧0のとき、f(x)の最小値はa,b>0ならば[1]でありa>0,b<0ならば[2]です。[1],[2]を埋めてください。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AX BX 定義 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● pietro-apple
●37ポイント ベストアンサー

f(x)=ax^2+bx+c

=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a

この式のグラフは下に凸で、軸は x=-b/2a

[1]

a,b>0の時、軸はx<0の範囲にあるので、最小になるのはx=0のとき。

(図を描いてみてください。)

f(0)=c

答え c

[2]

a>0 b<0の時、軸はx>0の範囲にあり、この数式のグラフは下に凸なので

最小になるのはx=-b/2aのとき。(このグラフの頂点)

f(-b/2a)=-(b^2-4ac)/4a

答え -(b^2-4ac)/4a

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● yo-kun
●35ポイント

関数y=ax^2+bx+cは放物線です。a \gt 0ならば下に凸の放物線です。

さて、f(x)=ax^2+bx+cを変形すると

f(x)=a(x+\frac b {2a} )^2- \frac {b^2-4ac} {4a}

となります。

これは軸がx=-\frac b {2a}で頂点が(-\frac b {2a}, -\frac {b^2-4ac} {4a}) の放物線であることがわかります。

[1]

a,b \gt 0ならば-\frac b {2a} \lt 0ですから頂点はx \ge 0の範囲にはありませんのでf(x)x \ge 0の範囲で単調に増加します。

したがって最小値はf(0) = cです。

[2]

a \gt 0,b \lt 0ならば-\frac b {2a} \gt 0

ですから頂点はx \gt 0の範囲にあります。

この場合、頂点が最小値ですから最小値はf(-\frac b {2a})= -\frac {b^2-4ac} {4a}です。

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。

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