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y=cosxのグラフと、点(0,1)と(2π,1)を結ぶ線分で囲まれた領域をAとします。領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる体積Xを求めて下さい。また、領域Aをそれぞれ直線y=0と直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積をY,Zとするとき、X,Y,Zの間の大小関係を調べてください。

●質問者: pon--ta
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:グラフ 小関
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kirche
●27ポイント

まずXですが

π(cosx-1)^2を0から2πまで積分します。

答えは3π^2

Zは形を考えるとXを真っ二つにして端と端をつなげただけの形ですのでX=Z

Yについては

半径1、長さ2πの円筒からπ(cosx)^2を0からπ/2まで積分したものを2個分引けばいいです。

計算すると(3π^2)/2となります。

よってX=Z>Yとなります。

余計なお世話かもしれませんが、数学は人に聞くより自分で考えた方がいいですよ。あと計算結果は保証できません。自分で実際にやってみてください

◎質問者からの返答

ご回答ありがとうございます。


2 ● jan8
●27ポイント ベストアンサー

領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる体積Xは、y=cosx-1を直線y=0の周りに回転して得られる体積と等しく、

X=π∫(cosx-1)^2 dx

=π∫((cosx)^2 - 2cosx + 1)dx

=π∫{1/2(1+cos2x) - 2cosx + 1}dx

=π[x/2 + 1/2(sin2x) - 2sinx + x]

=π(π + 2π)

=3・π^2

領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体の体積Yは、

Y=π∫(cosx)^2 dx

=π/2∫(1 + cos2x)dx

=π/2[x + 1/2(sin2x)]

=π/2(2π)

=π^2

領域Aを直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積Zは、Xに等しい。(説明略)

Z=3・π^2

XとZは等しく、Yの3倍である。

間違ってたらorz

◎質問者からの返答

重ねてご回答ありがとうございます。


3 ● jan8
●26ポイント

間違いました。

「領域Aを回転して出来る体積」と「曲線を回転して出来る体積」を勘違いしていました。

領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる立体Xはそのままです。

X = π∫(cosx - 1)^2 dx

= π∫(cos^2x - 2cosx + 1) dx

= π∫(1/2(1 + cos2x) - 2cosx + 1) dx

= π[x/2 + 1/4sin2x - 2sinx + x]

= 3π^2

領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体Yは円柱です。

Y = π・2π = 2π^2

領域Aを直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積Zは、

Z = 4π・2π - π∫(cosx+1)^2 dx

= 8π^2 - π∫(cos^2x + 2cosx + 1) dx

= 8π^2 - π∫(1/2(1 + cos2x) + 2cosx + 1) dx

= 8π^2 - π[x/2 + 1/4sin2x + 2sinx + x]

= 8π^2 - 3π^2

= 5π^2

よって、Z>X>Yとなります。



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