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1 + n^2 + n^3 + .... n^k から
(n^(k+1)-1)/(n-1)
を導き出す考え方を教えてください。
どう変形していくと、こうなるのでしょうか。


●質問者: pena3
●カテゴリ:趣味・スポーツ 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● Mook
●60ポイント ベストアンサー

こんな感じでしょうか。

S(k)=1+n+n^2+n^3+...+n^k

とすると

nS(k) - S(k)

=(n+n^2+n^3+...+n^{k+1})-(1+n+n^2+n^3+...+n^k)

=n^{k+1} - 1

(n-1)S(k) = n^{k+1} - 1

S(k) = \frac{n^{k+1} - 1 }{n-1}

ちなみに、1+n^2+... となっていますが、1+n+n^2...と解釈しました。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

鮮やかですね?。感動しました。

「nの1乗」が抜けていたのに補完していただいてありがとうございます。

また、こういう数式も書けるんですね、はてな記法のマニュアルを眺めてみたいと思います。

最近趣味で学生時代にちゃんとやらなかった数学の勉強をしていまして、こういった基礎がないのが何かと大変ですが、鮮やかにすぱっと納得できる快感がクセになりそうです。


2 ● kosuke2020
●10ポイント

1 + n^2 + n^3 + .... n^kに(n-1)をかけてやると、

(1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k)×(n-1)

=1×(n-1) + n×(n-1) + n^2×(n-1) + n^3×(n-1) + .... + n^k×(n-1)

=-1 + n

- n + n^2

- n^2 + n^3

………

- n^k + n^(k+1)

-------------------------------------

=-1 + n^(k+1)

とn?n^kび項が打ち消されるてn^(k+1)-1となります。

この結果から、

(1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k)×(n-1) = n^(k+1)-1 の両辺からn-1を割って、

⇔1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k = (n^(k+1)-1)/(n-1)

となります。

(質問されてた式の1とn^2の間にnが抜けていると解釈したので、nを保管した形で導きましたが、よかったでしょうか。)


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