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行列式の問題

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それぞれの固有多項式、固有値を求めなさい。
対角化可能か理由を答えなさい。

解答なくしたんでちょっとわかりません……
どなたか分かる方よろしくお願いします。

●質問者: DOUYO
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:固有値 多項式 行列式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● Z9M9Z
●60ポイント

固有値というのは、あるベクトルに行列をかけたつもりが、単なる定数倍になってしまうような、ベクトルと定数の組です。固有多項式は、固有ベクトルをx=(x1,x2,x3,x4)、固有値をeとするとAx=exで、(A-eI)x=0とも書けます。上のAで展開すると以下になります。

x2-e.x1=0; x3-e.x2=0; x4-e.x3=0; x1-e.x4=0

x2=e.x1; x3=e.x2=e^2.x1; x4=e.x3=e^3.x1; x1=e.x4=e^4.x1なので、e^4=1。よって、±1と±iの4つが固有値になります。

また、下のAで展開すると、以下になります。

x3-e.x1=0; x4-e.x2=0; x1-e.x3=0; x2-e.x4=0

固有値は、x3=e.x1=e^2.x3; x4=e.x2=e^2.x4となり、

e^2=1。よってe=±1の2つが固有値になります。

対角化というのは、対角成分しかない行列BをB=(P^-1)APのように、Aになにか両側からPをかけて作れるかという話です。これは、固有値が全部バラバラなら可能で、上は4つバラバラですのでOK、下は2つしかないのでダメとなります。詳しくはそういう教科書をどうぞ!

◎質問者からの返答

操作手順はわかってるんですが、そのまま解いていってもいいかわかんなかったのと、正しい解答が欲しかったので質問しました。参考にさせていただきます。ありがとうございました。

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