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数学の確率(正規分布など)の問題です。

確率変数XとYは独立で、ともに正規分布N(1.0,0.72)に従うものとする。[別表]を用いて、確率P(1.1<X+Y<2.6)を小数2桁まで求めよ。
全くわかりません。できる限り詳しく教えてください!!

※別表↓
http://www.qmss.jp/e-stat/stattab/normal-distribution.xls

●質問者: garireon
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:変数 小数 数学 正規分布 独立
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● yusuke6461
●23ポイント

http://q.hatena.ne.jp/list?type=jinriki

↑ダミー


2 ● respice
●23ポイント

X,Yは正規分布する確率変数ということですから、X+Yは、N(1.0+1.0, 0.72+0.72)つまり、N(2.0,1.44)に従います。

別表は標準正規分布の確率の表ですから、

 P(1.1<X+Y<2.6)

を計算する場合は、

 P((1.1-2)/1.44<Z<(2.6-2)/1.44))

を計算します。

(Zは標準正規分布に従う確率変数)。

 (1.1-2)/1.44=-0.625≒-0.63
 (2.6-2)/1.44=0.417≒0.42
 -0.625に対応する下側確率は、別表から0.264347 
 0.417に対応する下側確率は、別表から1-0.337243 = 0.662757

別表は上側確率なので上記のように計算します。

-0.63の下側確率は、0.63の上側確率である。表を見かたは、0.6の行と0.03の列にある0.264347が、0.63の上側確率というように見る。


ということで、

 P((1.1-2)/1.44<Z<(2.6-2)/1.44))=0.662757-0.264347 = 0.3955534 ≒ 0.40

この計算は、

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normal.html

の図2において、横軸の-0.625から0.417の間のグラフの面積を計算することに対応しています。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

リンクによれば、

「変数変換z = ( x- μ ) / σ をほどこしたとき(この変数変換のことを 標準化 と呼ぶ)」ですよね。( x- μ ) / σ の「σ」は標準偏差を表しているのではないですか?

すると、(1.1-2)/1.44の式は、(1.1-2)/1.2になるのではないでしょうか?このあたりがわからず解けません。もうひとアドバイスお願いします(泣)


3 ● respice
●22ポイント

すみません。間違っておりました。

ご指摘の通り変数変換のσは1.2になりますね。修正した回答を置いておきます。

X,Yは正規分布する確率変数ということですから、X+Yは、N(1.0+1.0, 0.72+0.72)つまり、N(2.0,1.44)に従います。

別表は標準正規分布の確率の表ですから、

 P(1.1<X+Y<2.6)

を計算する場合は、

 P((1.1-2)/1.2<Z<(2.6-2)/1.2))

を計算します。

(Zは標準正規分布に従う確率変数)。

 (1.1-2)/1.2=-0.75
 (2.6-2)/1.2=0.5
 -0.75に対応する下側確率は、別表から0.226627
 0.5に対応する下側確率は、別表から1 - 0.308538 = 0.691462

別表は上側確率なので上記のように計算します。

ということで、

 P((1.1-2)/1.2<Z<(2.6-2)/1.2))=0.691462-0.226627 = 0.464835 ≒ 0.46

この計算は、

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normal.html

の図2において、横軸の-0.75から0.5の間のグラフの面積を計算することに対応しています。

◎質問者からの返答

すごい!わかりやすいです!

最も基礎的な質問ですみませんが、

X+Yは、N(1.0+1.0, 0.72+0.72)

などのように、

「確率変数が加法されるとき、平均も分散も加法…というのは定理とか公式なのでしょうか?私の教科書に記載されていないようなのですが…


4 ● respice
●22ポイント

独立な確率変数については、分散や期待値に加法性があります。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

V(X±Y)=V(X)+V(Y)

和の確率分布については、

正規分布については、和の確率分布が、N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)に従うことは、たたみこみ積分を使って証明されています。

統計学入門 (基礎統計学)

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  • 出版社/メーカー: 東京大学出版会
  • メディア: 単行本

この教科書のp.148-150に書いてあります。

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