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確率(密度関数)の問題です。

確率変数Xは、密度関数
fx(X)=2?2X (0<X<1)
fx(X)=0 (それ以外)
…を持つ。
このとき、確率変数Y=√xの密度関数fy(Y)を求めよ。

さっぱりわかりません。詳しく教えて下さい(泣)

●質問者: garireon
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:Fx 変数 確率 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kosuke2020
●27ポイント

Xがxとx+?xの間にある確率と、これに相当するYがyとy+?yの間にある確率は等しい。

y=\sqrt{x} なのでx=0\rightar{y=0}, x=1\rightar{y=1}

x≦0,1≦xのとき fx(X)=0 なので、それに対応するy≦0,1≦yのとき fy(Y)=0

よって0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよい。</p>

ここで、Xがxとx+?xの間にある確率をP(x<X<x+?x)とすると、P(x<X<x+?x)=P(y<Y<y+?y)より、</p>

{\Bigint}_{x}^{x+{\Delta~x}}fx(x')dx'={\Bigint}_{y}^{y+{\Delta~y}}fy(y')dy'

{\Delta~x},{\Delta~y\rightar~0} の極限を考えると、

fx(x)dx=fy(y)dy

fy(y)=fx(x)\frac{dx}{dy}


y=\sqrt{x} より、

x=y^2fx(y^2)=2-2y^2, \frac{dx}{dy}=2y

fy(y)=fx(y^2)\frac{dx}{dy}

=(2-2y^2)(2y)

=4y-4y^3 (終)

◎質問者からの返答

「x≦0,1≦xのとき fx(X)=0 なので、それに対応するy≦0,1≦yのとき fy(Y)=0

よって0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよい」</p>

の部分がよく理解できません。

さらにわかりやすく説明していただけると幸いです。


2 ● kosuke2020
●27ポイント

その部分の答え方おかしかったですね。

fy(Y)=4Y-4Y^3 (0<Y<1)</p>

fy(Y)=0 (それ以外)

と答えるべきでした。

変数を変換する上で、「Xがxとx+?xの間にある確率と、これに相当するYがyとy+?yの間にある確率は等しい」という条件が成り立つのが前提となってます。

X≦0に対応するYの範囲はY≦0、X≧1に対応するYの範囲はY≧1なので、P(X≦0,1≦X)=P(Y≦0,1≦Y)

X≦0,1≦Xのときのfx(X)は0 ⇒ P(X≦0,1≦X)=0 ⇒ P(Y≦0,1≦Y)=0 ⇒ ∴ Y≦0,1≦Yのときのtv(Y)は0

ということですね。


3 ● すまーとぼーい
●26ポイント

kosuke2020さんの回答に対するレスに対する回答です。

まず x=0 の時 y=√0=0、x=1 の時 y=√1=1 ですよね。

このことを考慮すると 0<x<1 の時 y がとりうる範囲は 0<y<1 です。

そして「 0<x<1 じゃない時」つまり「x≦0,1≦xのとき」は fx(X)は常にゼロなので、それに対応する「 0<y<1 じゃない時」つまり「y≦0,1≦yのとき」は fy(Y)=0 ということになります。

後はkosuke2020さんの言うとおり0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよいということになります。</p>

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