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【数学の計算問題】 実数XとYの連立方程式ksinX=sinY≠0と2cosX+cosY=1を解くとします。

まず、Yを消去するとして下さい。

すると、次に同値変形される連立方程式が、ksinX≠0と(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1の形となるそうなのですが、どういう過程を経てYが消去されているのか分かりません。
過程を教えていただけないでしょうか。

●質問者: Rede
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:同値 実数 数学 計算 連立方程式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/5件

▽最新の回答へ

1 ● kosuke2020
●23ポイント

まず、ksin(X)=sin(Y)の両辺を2乗して

k^2sin^2(X)=sin^2(Y)?(1)

次に、2cos(X)+cos(Y)=1の両辺から2cos(X)を引いて

cos(Y)=1-2cos(X) 両辺を2乗して、

cos^2(Y)=(1-2cos(X))^2 sin^2(Y)+cos^2(Y)=1より、

1-sin^2(Y)=(1-2cos(X))^2?(2)

(2)に(1)のsin^2(Y)=k^2sin^2(X)を代入すると、

1-k^2sin^2(X)=(1-2cos(X))^2

1=k^2sin^2(X)+(1-2cos(X))^2

k^2sin^2(X)+(1-2cos(X))^2=1 (終わり)

以上でよろしいでしょうか?

◎質問者からの返答

? 三角関数が少々アヤフヤな私なのですが、同値変形してます?


2 ● mekishiko
●23ポイント

三角関数の関係の公式

(sinx)^2+(cosx)^2=1

を使います。

2cosX+cosY=1を移項して

cosY=1-2cosX

両辺を2乗して

(cosY)^2=(1-2cosX)^2

ここで先ほどの公式

(分かりやすく移項すると(cosx)^2=1-(sinx)^2)

を代入して

1-(sinY)^2=(1-2cosX)^2

ここでsinY=ksinXなので

1-(ksinX)^2=(1-2cosX)^2

移項整理すると

(ksinx)^2+(1-2cosX)^2=1

となります。

また、ksinX≠0は最初に条件として与えられているので

自明です。

これでよろしいでしょうか?

◎質問者からの返答

これも同値性が崩れていないですか?


3 ● Xenos
●22ポイント

すみません、もっと簡単な方法がありました。

(SinY)^2 +(CosY)^2 = 1 (1) は自明 (∵Sin,Cosの定義から)

与えられた式ksinX=sinYと2cosX+cosY=1をそれぞれ

SinY = ... , CosY = ... の形に変形した後、(1)に代入すると、十行以内で収まるはずです。

個人的にはこちらの方法がおすすめです。

わかりやすいですし。

◎質問者からの返答

おそらく、先にXenos様がされた回答よりも後出しの方が質がよかろうとこちらで判断させてもらい、後の方のみを開かせてもらいました。


4 ● kimiharu_009
●22ポイント

証明すべき等式は

(ksin(x))^2+(1-2cos(x))^2=1

だから,与えられた2cos(x)+cos(y)=1の1次式から,

1-2cos(x)をつくるように移項して,

1-2cos(x)=cos(y)ですね。これを証明すべき式が2乗されているから,2乗しましょう。

すると,

(1-2cos(x))^2=cos^2(y)

ですね.右辺にsin^2(y)+cos^2(y)=1からできる

cos^2(y)=1-sin^2(y)

を代入して,cos^2(y)を消去しましょう。

すると,

(1-2cos(x))^2=1-sin^2(y)

ここで与えられた条件式ksin(x)=sin(y)を右辺に代入すれば,

(1-2cos(x))^2=1-(ksin(x))^2

となり,整理すると

(ksin(x))^2+(1-2cos(x))^2=1

を示すことが出来ます。

◎質問者からの返答

今のところ、どうも全員の方々が、A⇔Bではなく、A⇒Bしか意識していないように思えます。こちらからの質問文には「同値変形される・・・」と書いてあるのですが。

ただ、三角関数の知識が危うい私が勘違いしているために、回答者様の「正解と見えない」可能性もあるので、私の方が間違っている可能性は大いにあります。

だとすると、今の私にはどっちが間違っているのか、判断しかねるので、すいませんがポイント配分は、三角関数の復習を急遽してからにさせて下さい(なお、回答者様が間違っていてもポイントは配分させていただきますのでご安心(?)ください)。


追伸(11月29日現在)

三角関数の復習等をする時間を確保しようとすると、それがクリスマス後になりそうです。そこまでポイント配分を伸ばすことができないので、先にポイントは出しておきます。

何かコメントがおありでしたら、この質問配分後にコメントしていただけると幸いです。

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