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以下の微分方程式の解放を探しています。いろいろな情報を探ったのですが、解法までたどり着けませんでした。

f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1

●質問者: sorakihu
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:微分方程式 解放
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●20ポイント

「1階線形微分方程式」で調べてみてください。

微分積分の教科書にも載っているはずです。


1階線形微分方程式とは

f'(x)+P(x)f(x)=Q(x)

という形式の微分方程式のことです。

この形の微分方程式の解は

\nosmash f(x)=e^{-\int P(x)dx}\left\{{\smash\int(Q(x)e^{\int P(x)dx}}dx + C\right\}

となることが知られています。(Cは積分定数)

(ここで証明まで書くと大変なので教科書などを参照して下さい)


今回ご質問された微分方程式は

P(x)=1

Q(x)=-2x-\cos x+1

の場合にあたります。


解が複雑に感じるかも知れませんが、今回の問題は

P(x)=1

つまり、

\int P(x)dx=x

なので、結局

f(x)=e^{-x}\left\{\int Q(x)e^x dx +C\right\}

ということになります。

これを計算すると結局

f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+C'

となります。

(C'=Ce^{-x}としました)

◎質問者からの返答

典型的な微分法的式の問題なんですね。

まだ微分方程式のクラスをとったことがなかったので、なかなか切り口を見つけられませんでした。


2 ● yo-kun
●20ポイント

ゴメンなさい!↑の最後間違えました。

C'=Ce^{-x}

と書きましたが違います。

xの関数だから定数になるわけないですね。


そのまま

f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+Ce^{-x}

が解です。


大変失礼しました。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。


3 ● sugiyasato
●20ポイント

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/

これは「線形微分方程式」の中でも簡単な形で,公式があります。(他にも色々と参考資料がWebで見つかるはずです)。

右辺の-f(x)を移項すると,a=1, Q(x)=-2x-cos(x)+1ということになりますから,代入して計算すればOK。途中でx e^{x}e^{x}cos(x)の積分が出てきますが,どちらも部分積分で簡単に解けます。(後者は2回使って同じ形を出して整理)。1階微分が含まれているので積分定数Cが1つ出ます。

答は,y(x) = -2(x-1) -\frac~1~2 (sin(x)+cos(x)) + 1 + C e^{-x}

ですね。

◎質問者からの返答

回答とウェブサイトへのリンクありがとうございました。たくさんの方に助けていただいて、問題も解くことができました(特殊な重力空間での軌道問題です)。ありがとうございます。


4 ● kilrey
●25ポイント

まず f'(x) = -f(x) に注目します。

これは明らかに定数Gを使って

f(x) = G exp(-x)

と解けます。

f(x) を微分する過程で残りの部分が出て来れば良いわけです。

問題の式もこの式に似た形になるはずです。

例えば、G を関数 g(x) だとみなします。

この f(x) = g(x) exp(x) はあらゆる関数形を網羅していますので、

この g(x) を解いても問題の答えが導けます。

実際に計算してみると

f'(x) = g'(x)exp(-x) - f(x)

が成り立ちます。つまり

g'(x) = (- 2x - cosx + 1) exp(x)

です。

あとは普通に解けることと思います。

◎質問者からの返答

f(x) = g(x) exp(x) と置くところが味噌ですね。ありがとうございます。


5 ● kasapakov
●50ポイント

f(x) = u とすると f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1 より

du/dx = -u -2x - cosx + 1

du/dx + u = -2x - cosx + 1 .

ここで

u(x) = c(x)e^(-x) となる関数cが存在すると考えると、

(c'(x)e^(-x) - c(x)e^(-x)) + c(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

c'(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

∴ c'(x) = -2x(e^x) - (e^x)cosx + e^x .

これを不定積分すると

c(x) = -∫(2x - 1)e^xdx - ∫(e^x)cosxdx

ここで

∫(2x - 1)e^xdx = (2x - 1)e^x - 2∫e^xdx

= (2x - 1)e^x + 2e^x = (2x + 1)e^x

∫(e^x)cosxdx = (e^x)/2(sinx + cosx)

なので c(x) = -(2x + 1)e^x - (e^x)/2(sinx + cosx) + d

= e^x(-2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d) (dは積分定数) .

よって

u(x) = -2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d //

だと思う.(もう長いこと積分なんてやってないからぁゃιぃ(^^;)A)

◎質問者からの返答

ステップバイステップの解説ありがとうございます。大変助けになりました^^

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