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3つ元からなる集合X={a,b,c}について
1.X上の同値関係はいくつあるか。
2.X上の2項演算は全部で3^9=19683個ある。Xがaを単位元とする
群になるような演算*をひとつ求めよ。
よろしくお願いします。


●質問者: yonoyume
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:ひとつ 単位元 同値 演算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●100ポイント ベストアンサー

1.

同値類に分けることを考える。

同じ同値類に属するものを同値とすれば

同値関係の数と同値類の分け方は1対1に対応する。

同値類の分け方としては

{a,b,c}

{a,b}{c}

{b,c}{a}

{c,a}{b}

{a}{b}{c}

の5通りあり、同値関係も5つある。



2.(以下a,b,cは全て異なるとする)

aを単位元とするのだから

a*a=a

a*b=b

b*a=b

a*c=c

c*a=c


また群は逆元を持つので

b*x=a

x*b=a

となるbの逆元xがXに存在する。


(i)x=bのとき

b*b=a

ここでb*cを考えると単位元は唯一aのみなのでb*c=bではありえない。

またbの逆元はbに対して唯一定まるので(この場合b)b*c=aもありえない。

すると

b*c=c

となるがこれは単位元が唯一aだけという仮定に反する。

したがってx=bではありえない。


(ii)x=cのとき

b*c=a

c*b=a

残るはb*bとc*cであるが

単位元は唯一aのみなのでb*b=bではありえないし、c*c=cではありえない。

またbの逆元はbに対して一意的に定まるので(この場合c)b*b=aでもありえない。よってb*b=c

同様にc*c=b


以上より演算表を書くと

a b c
a a b c
b b c a
c c a b

http://q.hatena.ne.jp/

◎質問者からの返答

たいへんわかりやすい解答でした。

ありがとうございました。

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