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ベータ関数の性質のひとつである対称性(シンメトリー)の証明の仕方を教えて下さい。また、WikipediaとMathWorld以外でベータ関数に関して詳しく説明しているサイト(特に応用*を具体例を使って説明しているサイトなどがあれば、是非!)をご存じでしたら、どうぞ教えて下さい。

*例:ベイズ確率(http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_probability#Probabilities_of_probabilities)で少し出てきます。こんな感じで、もうちょっと詳しいもの。特に、何故これが優れているのか(使い勝手がいいのか)が説明してあるもの。

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●質問者: shimarakkyo
●カテゴリ:学習・教育 経済・金融・保険
✍キーワード:ひとつ サイト シンメトリー ベイズ ベータ
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● a_b_y
●60ポイント

対称性ってB(x,y)=B(y,x)でいいのでしょうか。(違っていたらすみません。)

B(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)から明らか、というのは反則っぽいので無しとして、定義式の積分は単に実変数tについて積分しているだけなので(xとyが複素数であっても)t→1-tと変数変換すればOKです。

応用ついてはいい例が思いあたらなかったのですが、

> 特に、何故これが優れているのか(使い勝手がいいのか)が説明してあるもの。

に関しては、

http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/lib/klib/kiyo/hum/h26/h2602.pdf

のp.12に書かれていることが少し参考になるかもしれません。

質問の主旨からは外れますが、ベータ関数みたいな特殊関数は思いがけない所でひょこっと出てきたりするのでおもしろいです。例えば「ベータ分布はn次元球面上で一様に分布する点の配置に密接な関係がある(http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/225sekibun.htm)」とか。

◎質問者からの返答

ほぼ完璧に「求めていた回答」です。

ありがとうございます!!

>t→1-tと変数変換すればOK

ああ、本当だ。。。 うわー、何で分かんなかったんだろ。すごい、がくーっときました。

リンク先もとても参考になりました。本当に有り難うございます。

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