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f(x)=x4?4ax2+2a2?4a+1の最小値をm(a)とするとき、m(a)を求める。

各項の右端の数字は乗で読んでください。
x2=Xとおいてその後の±の変化の過程が分からないので説明をしてください。

●質問者: komattapeko
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AX 数字
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● MonsieurU
●30ポイント

「x^2」を「xの2乗」とします。


f(x)=x^4-4ax^2+2a^2-4a+1

x^2=X (Xは正の実数)とすると

g(X)=X^2-4aX+2a^2-4a+1

g(X)はX^2の係数が正の二次関数なので下に凸の放物線となります。


g(X)をXについて微分すると

g'(X)=2X-4a


g'(X)=0となるのは

2X-4a=0

X=2aのときなので、


放物線g(X)はX=2aのときに最小値を取ります。よって

m(a)=g(2a)=(2a)^2-4a(2a)+2a^2-4a+1

=-2a^2-4a+1


となります。

x^2=Xとした時点で、この問題は二次関数の問題なのでX^2の係数が正か負かで放物線の凸の上下が逆になります。

◎質問者からの返答

ご回答有難うございました。


2 ● nobady
●30ポイント

x^4-4ax^2+2a^2-4a+1 X^2=Xとおく

=X^2-4aX+2a^2-4a+1 -4aXに注目し+(2a)^2-(2a)^2を追加

=X^2-4aX+(2a)^2-(2a)^2+2a^2-4a+1 (X^2-4aX+(2a)^2-(2a)^2)と完全平方の形にする

=(X-2a)^2-4a^2+2a^2-4a+1

=(X-2a)^2-2a^2-4a+1 (X-2a)^2>=0でX=2aの時(X-2a)^2=0なので

X=2aの時,最小値m(a)=-2a^2-4a+1となる。

◎質問者からの返答

ご回答有難うございました。


3 ● yo-kun
●60ポイント

若干補足します。


X=x^2とおいた時点でX≧0なので

下に凸な放物線X^2-4aX+2a^2-4a+1のX≧0部分での最小値を求めねばなりません。

従って放物線の頂点X=2aがX≧0の範囲にある場合、すなわち

a≧0の場合はお二方の解で結構ですが

放物線の頂点X=2aがX<0の範囲にある場合、すなわちa<0の場合は明らかにX=0のときに最小値をとります。


よって以上より


(i)a≧0のとき

m(a)=-2a^2-4a+1

(ii)a<0のとき

m(a)=2a^2-4a+1


が解かと思われます。

◎質問者からの返答

ご回答有難うございます。

問題集の解説には

2a<0すなわちa<0の時

m(a)=2a^2-4a+1 ※

=2(a-1)^2-1

2a≧0すなわちa≧0の時

m(a)=-2a^2-4a+1

=-2(a^2+2a)+1

=-2(a+1)^2+3

となっているのですが、※の所から±の変化の意味がわからないので、ココの部分からの解説が欲しいのです。



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