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フェルマーの定理の証明に関して、ゲルハルト・フライが提示した式
y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N
を、
A^N+B^N=C^N
から導く方法を教えてください。
新潮文庫の「フェルマーの最終定理」を読んでいるのですが、その導き方だけ触れられておらず非常に気になっています。

●質問者: Boone
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ゲル フェルマー フェルマーの最終定理 フライ 定理
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● quintia
●35ポイント

回答がつかないようので門外漢ながら。

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

A^N+B^N=C^N

から導き出すものではないです。


もし仮にフェルマー予想が誤っていると仮定すると、

A^N+B^N=C^N

を満たすようなA,B,Cが存在します

その様なA,B,Cの組み合わせに対して、

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

という楕円曲線を想定し、その性質を考察した、というのがゲルハルト・フライの業績です。


もしフェルマー予想が誤っていると仮定すると「この楕円曲線はモジュラーではない」という性質が導きだせるだろう、とフライが予想しました。

その後、ケン・リベットがその予想を証明しました。

「フェルマー予想が誤っているならば、フライの楕円曲線はモジュラーではない」となったのです。


それとは別に「全ての楕円曲線はモジュラーである」という予想があり、かつこれはおそらく正しいだろうと考えられていました。

この予想が証明されれば、

「フェルマー予想が誤っているならば、フライの楕円曲線はモジュラーではない」

しかし、「全ての楕円曲線はモジュラーである」ので矛盾

ゆえに「フェルマー予想は正しい」

という背理法が成立することになります。


そして、「全ての楕円曲線はモジュラーである」予想が証明され、「フェルマー予想は正しい」ことも証明されました。


と、その本にもそう書いてあるのではないでしょうか?


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E3%83%BB%E5%BF%9...

◎質問者からの返答

本には、

A^N+B^N=C^N

を並び替えたと書いてありました。

本の表現が誤解を招くものなのかも知れません(私には分かりませんが)。

下記の式

y^2=x^3+(A^N-B^N)x^2-A^N*B^N

が出てきた数学的な過程を知りたいです。


2 ● quintia
●35ポイント

> が出てきた数学的な過程を知りたいです。

なるほど。

詳しくは楕円曲線の判別式について解っている必要があると思うのですが、私は解りませんw

でもそれが強い関わりを持っているらしいです。


http://mathworld.wolfram.com/FreyCurve.html

のページ。

冒頭にでてくるy^2=x(x-a^p)(x+b^p)は、質問にあるy^2 = x^3 + (A^n - B^n)x^2 - A^n B^nと同じです。

aとbを入れ替えて展開すると質問の式になります。

これの判別式Δ(elliptic discriminant)が、(a^n b^n c^n)^2となるそうです(この時点ですでに私の理解を超えています)。URLで示したページではa^{2p}b^{2p}c^{2p}と書いてありますが同じことです。


フライの式では、判別式がこういう形式をしていることが重要なポイントらしいです。

逆に言うと、「判別式がこの形になるような楕円曲線」をフライが見いだしたということなので、

A^N+B^N=C^N

を並び替えた

という記述はそのことを指して言っているのではないでしょうか。

◎質問者からの返答

リンク先をみても私の疑問については、

a^p+b^p=c^pに対応するFrey Curveは、

y^2=x(x-a^p)(x+b^p)

だと書いてあるだけです。

なぜ、対応するのか、が知りたいです。

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