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θ - sinθ = A (Aは定数、0≦A≦2π)
の解き方を教えてください。
θの範囲は0≦θ≦2πで。

プログラム等ではなく数式での解法をお願いします。

●質問者: 元ここギコ!
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:sin プログラム
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● yuki_furuya
●10ポイント

寝起きで頭がぼーっとしてるから、ミスするかも…。

一応、といてみる。


http://q.hatena.ne.jp/answer


θ - sinθ = A (Aは定数、0≦A≦2π,0≦θ≦2π)

両辺をθで微分

1 - cosθ = 0

移行して、

cosθ = 1

従って、

θ = 0 + 180πa (aは任意の数)


…、違うかな。

なんか、違う気もしてきた…、けど投稿。

◎質問者からの返答

両辺を微分するのは意味あるのでしょうか...

例えばそれですと

x^2 = A

を解くのに両辺を微分して

2x = 0

∴x = 0

となってしまわないですか?


2 ● ? ????<だ
●10ポイント

確かざっとですが、以下だった気と思います。

※忘れかけてたのでいくらか調べ直しました。


(1) θ → 2π の場合

A = θ - sinθ → 2π - sin2π = 2π - 0 = 2π


(2) θ → 0 の場合

A = θ - sinθ = θ ( 1 - sinθ/θ ) → 0 × ( 1 - 1(※)) = 0


(1),(2) より、0≦θ≦2π の場合、θ - sinθ = A (0≦A≦2π)



※ lim[θ → 0](sinθ/θ) → 1

sinθ ≒ θ - θ^3/3!+θ^5/5! - ... 【級数展開】

よって、θ → 0 の場合、

sinθ/θ ≒ 1 - θ^3/3!+θ^5/5! - ... ≒ 1 - 0 + 0 - ... → 1


URLはダミーです。

http://q.hatena.ne.jp/1178754346

◎質問者からの返答

すみません、書き方が判りにくかったかもしれません。

0≦A≦2πとなることの証明ではなく、θ - sinθがAになる場合のθの値を導出したいと言う意味でした。

すみません。


3 ● peppe_11
●10ポイント

※π=3.14

| /

| /

| /

| /

| /

|/

|

A=θ-sinθ

y=X-sinX と変換

傾き1のXのグラフに-sinXの波曲線を引いた答えが

0≦y(A)≦2πの範囲にある場合を知りたいのであれば

答えは「0≦θ≦2π」の全ての範囲で0≦A≦2πが成り立つってことで

daichan330さんの答えで合ってませんかねぇ?

X=4.71でやっと-1になるようなy=xに比べるととても緩やかな曲線ですよん


※別に解き方を書いた訳じゃないのでポイントは結構です。

http://q.hatena.ne.jp

◎質問者からの返答

すみません、やっぱり判りにくいようですが、Aは例えばπ/3、3π/4のような特定の値です。

なんなら0≦A≦2πは忘れていただいても結構です。

θ - sinθ = π/3

θ - sinθ = 3π/4

といった式が、θがいくつの時に成立するか、という事を導く方法が知りたいのです。


4 ● くろょ
●250ポイント ベストアンサー

自分で解く事を断念して、検索してみました。

英語ですが、同じ質問をしているページを見つけました。

http://mathcentral.uregina.ca/qq/database/QQ.09.00/roble1.html

このページの回答によれば、直接求める方法(つまり、逆関数)は分からないが、ニュートン-ラプソン法で近似するのが良いだろう、とあります。

今回の式の変数に書き換えると、

\large \theta_{n+1} = \large \theta_n - \frac{A-\theta_n+sin{\theta_n}}{-1+cos{\theta_n}}

で適当な初期値から初めて、収束するまで繰り返せばいいわけです。

結局、直接求める事ができず、近似計算で求めるしかないようですね。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

やはり?綺麗な形では解けないのですか...。

ちょっと残念ですが、解けない事が判っただけでもよかったです。

ちなみに、なんでこんなのを質問したかというと、「円周上の一点を通り、円をn等分する弦」の中心角を計算してみたところ、

θ - sinθ = 2mπ/n (1≦m≦n-1)

として求まったので、それ以上綺麗に求まらないかと思って質問した物です。

末筆ながら、kuro-yoさんのホラー質問集、いつも楽しく拝見させていただいています。

このたびはどうもありがとうございました!

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