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どのような「あみだくじ」でも、必ず別のゴールに着くことを数学的に証明してください。

●質問者: ヒースキット山口
●カテゴリ:学習・教育 ネタ・ジョーク
✍キーワード:あみだ 数学 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 13/13件

▽最新の回答へ

1 ● sukiyaki22
●0ポイント

それは公理だから、証明の対象にはなりません。


2 ● BlackSabbath
●0ポイント

別のゴールって直下には行かないということでしょうか。

そうはならないと思いますが……

A B C
│ │ │
├─┤ │
│ ├─┤
│ │ │
│ ├─┤
├─┤ │
│ │ │
A' B' C'

3 ● Z9M9Z
●15ポイント

横線がまったくない場合をまず考えると、縦線は出発点と終点を結ぶものであって、1対1対応します。つまり、別のゴールに着きます。

つぎに、横線を1本ひいた場合を考えます。

もし、横線に一方通行を認めると、結んだ2つの縦線が1本に合流します。そうすると、1対1対応は乱れます。

横線を双方向通行にしている限り、結んだ2つの縦線は、互いに終点を交換しただけになります。よって、出発点と終点の1対1対応は乱れません。つまり、別のゴールにつきます。

横線をいくらひいても、この縦線の出発点・終点の対応の交換をしているだけになるので、1対1対応は乱れません。

以上、数学的帰納法っぽく書いてみました。

◎質問者からの返答

一番イメージに近いですね。


4 ● akagi_paon
●12ポイント

「あみだくじ」の定義にもよりますが、入り口の数と出口の数が同じであり、縦線と横線の交点がすべて異なる場合、違う入り口は違う出口に対応します。

つまり、別の入り口から入ったのに同じ出口から出るなんてことは起こりません。

証明は下記ページがわかりやすいかと。

http://homepage3.nifty.com/funahashi/suugaku/suu40.html

逆に言えば、入り口の数が出口の数より多いあみだくじを作れば、当然ながら違う入り口から入ったのに同じ出口から出るということが起こります。

◎質問者からの返答

無理やりでもよいので、数式で表せたりしないもんでしょうかw


5 ● feenal
●21ポイント

> 無理やりでもよいので、数式で表せたりしないもんでしょうかw

というわけで考えてみる。

数学の行列をつかって示せるかな。

あみだの入り口と出口の数は当然同じ数nだとして、

行番号を入り口、列番号を出口と考えたn*nの単位行列を考える

(これは正則なので 行列式==1 )

横線のないn=5のあみだなら

E = 
出口\入口 1 2 3 4 5 
 -------------
 1 | 1 0 0 0 0
 2 | 0 1 0 0 0
 3 | 0 0 1 0 0
 4 | 0 0 0 1 0
 5 | 0 0 0 0 1

あみだの横線はこの行列に行基本変形の行入れ替え行列をかけることに相当する。これは下記のように表す

P(i,j) = 単位行列のi行とj列を入れ替えた行列

i=3, j=2なら

P(3,2) = 
 1 2 3 4 5
 -------------
 1 | 1 0 0 0 0
 2 | 0 0 1 0 0
 3 | 0 1 0 0 0
 4 | 0 0 0 1 0
 5 | 0 0 0 0 1

この行列式はi,jの値によって(-1)^(i+j) となり、0にはならない

横線の出現する順にP1,P2とすれば

全てのあみだはEにPを複数回かけたものに相当するので

A = ...*P2*P3*P1*E

こうしてできた行列AはEの順番を様々な形に入れ替えたものだが、

PもEも行列式は0ではないので Aの行列式も0にはならない。

すなわちあみだAは正則である。


ここでおなじ出口にたどり着く行列を考えてみると例として

B = 
 1 2 3 4 5
 -------------
 1 | 1 0 0 0 0
 2 | 0 1 0 0 0
 3 | 0 0 0 1 0
 4 | 0 0 0 1 0
 5 | 0 0 0 0 1

のようになり、全く同じ行が出現することになる。

これは明らかに正則で"ない"のでBの行列式は=0となる

すべてのあみだはAの形式で表されるはずなので

行列式が0になるのはこれと矛盾する

よってあみだは別の入り口から同じ出口にたどり着くことはない。

(もちろんあみだのルールが地域によって違うかもしれないですが..)


あみだを

A = p*p*p*E

で表すことができるのは面白いかと。

よくよく考えるとこれは数学の『置換』の概念と全く同じですね。

組み合わせはn!とおりか。

◎質問者からの返答

おおお!

すごい力作が来ました。行列以外のアタックも募集中です!


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