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数学の問題です。
四面体ABCDの各辺の長さが、
AB=5cm
AC=5cm
AD=5cm
BC=5cm
BD=ルート13cm
CD=6cm
の場合、この四面体の体積は幾つになるでしょう。
途中の式および考え方も含めて回答下さい。
最初に正解された方に100ポイント差し上げます。

●質問者: arther_dog
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ポイント ルート 差し 数学 CD
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/3件

▽最新の回答へ

1 ● ELB
●100ポイント

まず、条件に従って四面体ABCDを書きます。

次にBCの中点をMとします。

本格的な回答はしたからです。

まず三角形ABCの面積を出します。

この三角形の高さはAMです。AMの長さは5sin60°です。

三角形の面積の公式に底辺BC=5と高さAM=5sin60°を代入し、面積を出します。(面積は25√3/4)

この面積が四面体の底面積になります。

次に三角形BCDにおいて、余弦定理より

CD^2=BC^2+DB^2-2BC*DBcos∠DBC

これを計算してcos∠DBCを出します。

(cos∠DBC=1/6√13)

また三角形BMDにおいて、余弦定理より

MD^2=BM^2+BD^2-2BM*BDcos∠DBC

この式にBM,BD,cos∠DBCの値を代入し、

MDを求めます。(MD=√663/6 分子にだけ√がかかっています)

次に三角形AMDにおいて、

頂点Dから辺AMに下ろした垂線とAMの交点をNとし、

NA=xとおきます。

三角形DNMにおいて三平方の定理より、

DN^2=MD^2-NM^2

同様に三角形DNAにおいても三平方の定理より、

DN^2=AD^2-NA^2

(どちらもDN>0)

2式を連立させて、

MD^2-NM^2=AD^2-NA^2

(NM=AM-NA)

この式を解き、xを出します。(xの値はややこしいので勝手ながら省略)

ここで求めたxが四面体の高さとなります。

あとは四面体の体積の公式(底辺×高さ×1/3)に値を代入するだけです。

結果として、体積は95/9立方センチメートルとなります。

以上です。

書き方が雑、及び計算を省略している点はご了承ください。

◎質問者からの返答

ごめんなさい

どこが間違っているのか分かりませんでした。

連立方程式気から高さを求める考え方は分かりました。


2 ● Mook
●500ポイント

やり方を問わず、解を求めるのであれば今回の場合6辺の長さがわかっているのでオイラーの四面体公式を使ってしまえば機械的に求まります。


すなわち各辺の長さを a,b,c,d,e,f とし、体積を V とすると

12V^2=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)+b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2-b^2-e^2)+c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2-c^2-f^2)-a^2b^2c^2-a^2e^2f^2-d^2b^2f^2-d^2e^2c^2

が成り立つので、これに与えられた数値を代入すると

12V^2=20700

これより

V=\frac{5}{2}sqrt{23}

となります。


http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/375_6.htm

◎質問者からの返答

オイラーの定理に変の長さから体積を求める公式があるとは知りませんでした。

正解、おめでとうございます。

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