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ピタゴラスの定理(a^2+b^2=c^2)を満たすa、b、cのうち、少なくとも1つは絶対に3の倍数であることを、超フレンドリーに示して下さい。

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●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:ピタゴラスの定理
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/6件

▽最新の回答へ

1 ● Mook
●3ポイント

数学なのである程度の理屈はがまんしてください^^。


まず、証明すべき命題は

a^2+b^2=c^2
のとき、ab の少なくともどちらか一方は3 の倍数である。

です。


まず一般に自然数nは、

nが3の倍数ならばn^2≡0 (mod 3)、
nが3の倍数でなければn≡1 (mod 3)である。

(※ (mod 3) ・・・ は 3で割ったときのあまりという意味です。)


ここでabがともに3の倍数でないとすれば

a^2+b^2≡2 (mod 3)
c^2≡0 or 1 (mod 3)

となり不合理です。

補足:

足し算の合計の剰余は、各要素の剰余の合計の剰余に等しい性質を利用しています。

つまり、余りが1になる数字を二つ足したものは、その余りが2になるので、これはある数字の自乗の余りが1か0になることに矛盾するのです。


したがって結論

aもしくはbの少なくともどちらか一方は3の倍数である。

と命題が証明されます。

http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/triangle.html

◎質問者からの返答

ありがとう。

数学が苦手なこともあり、いくつか質問します。

題意は、a、b、cの3つの数に対し、少なくとも3の倍数が1つはあることを示したいのですが、Mook様の回答はa、bの2つの数に対して示しているように見えます。このように置き換えることができる理由を教えてください。

次に、nが3の倍数でなければn≡1(mod 3)とありますが、n≡2(mod 3)はないのでしょうか。もしくは考慮しなくてもよいのでしょうか。


2 ● kappagold
●57ポイント

まず、平方数について考えます。

3の倍数の場合

当然、3mであらわせます。(証明は省略)

3の倍数ではない場合

3n?2

3n?1

のどちらかで示されます。

その片方ずつについて、

1,4,7,10,..,3n?2 nは自然数

(3n?2)2

=9n2?12n+4

=3(3n2?4n+1)+1

したがって、3で割ると1余る。


2,5,8,11,..,3n?1 nは自然数

(3n?1)2

=9n2?6n+1

=3(3n2?2n)+1

したがって、3で割ると1余る

3n?2と3n?1であらわせる数の平方は、3k+1の形であらわせます。



と言うことで、


a^2+b^2=c^2

の場合、a・b・Cが、3の倍数ではないと仮定すると

ピタゴラスの定理は、

(3k+1)+(3h+1)=3p+1

であらわせることになる。

しかし、

(3k+1)+(3h+1)=3(k+h)+2

となることから、a・b・Cが、3の倍数ではないと仮定するとピタゴラスの定理が成り立たない。

従って、a、b、cのうち、少なくとも1つは絶対に3の倍数である、

◎質問者からの返答

おおおおおおおおお!

私的にはかなり理解できました。苦手なりに。

腹にも落ちましたよ?。

ありがとう!


3 ● castiron
●20ポイント

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras2.ht...

自分では分からないから、これを↑を解説

自然数 a、b、c が、a^2+b^2=c^2 を満たすとき、

(1) a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数

(2) a、b のうち少なくとも一方は 4 の倍数

(3) a、b、c のうち少なくとも一つは 5 の倍数

という性質を持つことは、よく知られた事実とのことである。

実際に、

(1)の証明:

a、b のどれも 3 の倍数でないとすると、a^2、b^2 を 3 で割った余りは、必ず 1 となる。

両方とも3の倍数でないと仮定しそれが成り立たないのならば自然と少なくともどちらか一方は3の倍数という事になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C%E5%BC%8F

の性質から3の倍数でないとすると例えばaは以下のどちらかになります。

a≡1(mod3) //aを3で割ったときのあまりが1

a≡2(mod3) //aを3で割ったときのあまりが2

両辺を二乗すると

a^2≡1^2(mod3)

a^2≡2^2(mod3)

さらに書き換え

a≡1^2(mod3)

a≡4^2(mod3)

ここで下の合同式は左辺が4なのでこれは3で割ると1余ります。

よって

a≡1^2(mod3)

これでbも同様なのでa,bが3の倍異数でないのなら必ず

a^2,b^2はあまりが1になります

したがって、a^2+b^2 を 3 で割った余りは、2 となるが、

a^2,b^2のあまりがそれぞれ1なので足すと2です。

a^2+b^2=c^2 を 3 で割った余り

は、0 または 1 なので、これは矛盾である。

右辺のc^2は何の数か分からない数cなので

c≡0,1,2(mod3)

です。(cを3で割ったあまりが0,1,2のどれか)

これを二乗します

c^2≡0,1,4(mod3)

⇔c^2≡0,1,1(mod3)

よって

c^2≡0,1(mod3)

となる。

ここで左辺のあまりは必ず2に成るはずで

右辺が0か1に成るということと矛盾するので

したがって、a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数である。

こんなん作ってみました。(ありがちだけど)

Sub ピタゴラス数()
 n = 1
 For x = 1 To 1000
 For y = x To 1000
 a = x
 b = y
 Do While 1
 r = a Mod b
 If r = 0 Then
 Exit Do
 End If
 a = b
 b = r
 Loop
 If b = 1 Then
 z = Sqr(x ^ 2 + y ^ 2)
 If Int(z) = z Then
 Cells(n, 1) = x
 Cells(n, 2) = y
 Cells(n, 3) = z
 n = n + 1
 End If
 End If
 Next y
 Next x
End Sub
◎質問者からの返答

ありがとう。

ちょっとフレンドリー・・・・かどうかはわからないけど、なんとなくわかりました。

どうも、a、b、cのいずれかというよりは、a、bのいずれかのようですね。



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