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数学の問題やで。(x、yは実数)

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である。」

この命題に対する、逆、裏、対偶を述べ、さらに、命題、逆、裏、対偶の4つの真偽を理由つきでフレンドリー&ソフトタッチで優しく優しく俺に教えてくれ。

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●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:ソフト タッチ 命題 実数 対偶
○ 状態 :キャンセル
└ 回答数 : 3/3件

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1 ● larkmild3

それが人に物を聞く態度か。

宿題は自分でやれ。

◎質問者からの返答

もうしわけありません。

当方34歳ですので宿題ではありません。


2 ● since1603

■命題

「x>0ならば、あるyについてxy>0である。」:真

x>0のときに、xy>0となるyが存在するかを考える。

→y>0ならばxy>0を満たすので、真

■逆

「あるyについてxy>0ならば、x>0である。」:偽

y>0の場合とy<0の場合を考える。

→xy>0であってもx>0とはいえないので、偽

■裏

「x≦0ならば、すべてのyについてxy≦0である。」:偽

x<0の場合、y<0ならばxy>0となる。

→xy≦0を満たさないyが存在するので、偽

■対偶

「すべてのyについてxy≦0ならば、x≦0である。」:真

xy≦0を満たすxとyは、

→すべてのyについてxy>0でないためにはx=0である必要があるので、真


3 ● yo-kun

あるyについてxy>0ならばx>0である


x≦0ならば任意のyについてxy≦0である


対偶

任意のyについてxy≦0ならばx≦0である



OK、では真偽をご要望にお答えしてフレンドリーに解説していこうか。

まずは提示されている命題に対してだ。

これはすぐにわかると思うけど真だ。

なぜかって?

x>0なら、少なくともy>0というyに対してはxy>0になるからね。


次に逆の真偽だね。

これは偽だ。

もしy<0、x<0だったらxy>0を満たすだろ?

ってことはこの場合も「あるyについてxy>0」なわけだ。

でもx>0ではない。

つまり偽だよね。


さて、裏にいってみようか。

これもすぐにわかるよね。

x<0のときでy<0のときはxy>0になるよね。

このときはxy>0となるからxy≦0にならない。

だから偽。OK?

ちなみに、ある命題に対して逆と裏は対偶の関係にある。

ってことは「対偶関係にある命題の真偽は一致する」っていう事実から、

「逆が偽だとわかっているので偽」と書いてもテストではOKだよ。


さぁ、ここまではOKかい?

最後に対偶だ。

さっきも書いたけど「対偶関係にある命題の真偽は一致する」から

元の命題が真なので対偶の命題も真だ。

でも一応これについても解説しておくよ。

任意のyについてxy≦0なんだからx=0しかありえないよね。

注意したいのはx≦0という記号はx<0またはx=0ということ。

x=0を満たしているからこの命題は真ということになるよね。


これで説明を終わるけどOKかな?

わからないことがあったらコメントに書いてくれ。

それじゃあね。

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