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数学の問題です。(x、yは実数)
再質問になります。

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」

に関して質問します。

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」
裏 :「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」
対偶:「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」
で正しいでしょうか。

それとも、
逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」
裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」
対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
が正しいでしょうか。

それとも、それ以外でしょうか。
どうぞよろしくお願い致します。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:命題 実数 対偶 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/7件

▽最新の回答へ

1 ● KUROX
●0ポイント

命題が真なら、対偶も真ならなければおかしいので、

質問文の2つとも対偶ではないと思います。

----------------------------------

x>0ならば、あるyについてxy>0である

をいかに直してみました

X>0ならば、XY>0であるYが存在する

対偶

XY>0であるYが存在しないのなら、X>0でない

あってるかどうかは分かりません。

◎質問者からの返答

すいません、

命題は「x>0ならば、あるyについてxy>0である」で確定ですので変更なしでお願いします。

この命題に対する、逆、裏、対偶についての質問です。


2 ● ita
●0ポイント

命題「あるxについてP」

の否定は

「全てのxについてPでない」になります。

したがって

「あるyについてxy>0である」

の否定は

「すべてのyについてxy≦0である」

です。

◎質問者からの返答

【ケース1】

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」

対偶:「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」

【ケース2】

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」

対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」

【ケース3】

それ以外

とすると、どれであるとおっしゃってくれていますでしょうか。

また、

> 命題「あるxについてP」の否定は「全てのxについてPでない」になります。

というのはなんとなくそうかなという気もするのですが、ちょっとわからないので補足してくれれば嬉しいです。

引き続き回答をお待ちします。


3 ● すまーとぼーい
●0ポイント

「x>0」の否定は「x≦0」

「あるyについてxy>0である」の否定は

「xy>0であるyは存在しない」=「全てのyについてxy≦0である」

よって

逆 :「あるyについてxy>0ならば、x>0である」

裏 :「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」

対偶:「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」

となります。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。1つ追加質問します。

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」は私は真だと思っています。

よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。

さて、endeavor様の対偶は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」です。

このendeavor様の対偶の真偽は「偽」になってしまいませんか?


4 ● ita
●0ポイント

「飲み会にある女の子が来る」の反対は

「飲み会に来るのは全員男」ですね。

というわけで、

【ケース2】

とおっしゃってくれています。

前の回答にはポイントはなしでOKです。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。ita様の意見ではケース2が正しいということですね。

追加でendeavor様と同じ質問を致します。

ケース2が正しいとした場合ですが、

命題「x>0ならば、あるyについてxy>0である」は私は真だと思っており、よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。ita様の対偶(ケース2の対偶)は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」ですが、ita様の対偶(ケース2の対偶)の真偽は「偽」になってしまいませんか?

差し支えなければコメント欄でも構いませんので、ご意見頂ければ幸いです。


5 ● すまーとぼーい
●100ポイント

3.のレスへの回答です。

「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」(A)は背理法で証明できますよ。

まず(A)を否定して「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxが存在する」(B)と仮定します。

(B)はy=1の時も成り立つので

y=1 の時:(B)は「x≦0であり、x>0であるxが存在する」となります。

この命題は明らかに矛盾しています。

よって「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxは存在しない」は真です。

したがって「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」は真です。

(証明終わり)

ちなみに「全てのyについてxy≦0ならば、x≧0である」も同様にy=-1と置いてやると証明できます。

つまり「全てのyについてxy≦0ならば、x=0である」ということです。

(これの対偶は「x≠0ならば、あるyについてxy>0である」)

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

命題は真、対偶が偽となってしまうと思い、悩んだ末した質問でした、

対偶は真だということがよく理解できました。

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