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拡散方程式(非線形項あり)

D_t f = (D_x)^2 f + f * D_x f

の解f=f(t,x)について、次の性質1,2が成り立つかどうかを教えて下さい(参考:この質問は、http://q.hatena.ne.jp/1195748991 の続きです)。数値的な検討や、この拡散方程式についての新たな知見(非定常解など)の紹介も歓迎します。

性質1:t=0でf, D_x fがともに有界(i.e. すべてのxについて|f(0,x)| < M, |D_x f(0,x)| < M)ならば、任意のt>0でf(t,*)は有界。

性質2:t=0でfの台が有界(i.e. |x|>Rなるすべてのxについてf(0,x)=0)ならば、すべてのxについてt→∞のときf(t,x)→0。

fは、t>0かつ-∞<x<∞で定義されたなめらかな実数値関数です。D_tはtによる偏微分、D_xはxによる偏微分を表します。

●質問者: LaLaLa
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:i.e. 偏微分 定義 実数 拡散
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● ita
●100ポイント ベストアンサー

数値解でf Dx fの項だけで計算すると、最大値、最小値が一定になるように見えたんで検証してみたところ厳密に示せました。

拡散項は常に最大値、最小値の絶対値を減少させる方向に働くのでとりあえずおいておき、f Dx fの項だけ考えてみます。今f(x)である関数が、時間dtの間にdt f(x) だけ「左に」移動した場合の変化量を考えると、df/dt = f Dx f となります。したがって、t=0でf(x)だった場合、時間tでは f(g(x,t))となり、g(x,0)=x、Dt g = f(g(x)) Dx g となります。

t=0でf=sin(x)だった場合、f=0の点は常にf=0で、その他の点は等速度f(x,0)で左に進みます。したがって時間1後にはx=0で傾きが無限大になります。

同様の考察から、f自体は最大値、最小値が変化しないので常に有界だけど、Dx f は拡散項がないと発散します。

つぎに拡散項がfを滑らかにする影響がDx fの発散を止められるか考えます。

初期値がA sin(x)だったとして、x=0付近の振舞を考えます。始めの0?π/2のカーブがだんだん狭い範囲に押し込められていきますが、その幅がδになった時、左に動く量はdt Ax/δ程度、下に動く量は dt Ax/δ^3 程度なので微小移動方向の傾きは1/δ^2、δが小さくなるとどこかでこれが直線の傾きA/δ より大きくなるのでそれ以降は傾きが減る方向になって発散を抑えます。

後者の議論はちょっといいかげんなのですが。

というわけで、fの方は厳密に有界、傾きも多分有界、て感じですね。

◎質問者からの返答

どうもありがとうございます。

移動による説明は美しいです。もとの問題の物理から言ってもとても自然で、納得しました。

拡散項が傾きの発散を押さえる効果ですが、サインの場合は納得しました。でも、初期波形がx=0の近くでf=x+x^3みたいになっている場合とかは、どうなるのでしょう。

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