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【小学校算数】長方形の面積を求める公式について。
小学校では、「長方形の面積は、縦かける横」と教えますが、これはなぜでしょうか。
X軸、Y軸という順で考えるなら、「横かける縦」であるべきでは、とも思えるのですが。
現に、三角形では「底辺かける高さ割る2」が公式とされている(Xが先でYが後)わけですし。

また、
「縦4cm横5cmの長方形の面積」
を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

これが例えば、
「4人が200円ずつ募金したら全部で何円」
といった問題であれば、「200が4つだから200×4」というのはまあわかります。
(4×200だと、「200人が4円ずつ」になる)
しかし、図形の縦横は見ようによりますし、どっちも同じ「長さ」を表す数ですので、「逆でもいいのでは?」と思えてなりません。

当方、小学校勤務ですが、不勉強で今ひとつよくわかりません。
よろしくお願いします。

●質問者: filinion
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:Cm ひとつ 三角形 不勉強 不正解
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 13/13件

▽最新の回答へ

1 ● どんジレ、どんさん
●25ポイント ベストアンサー

こんにちは。お仕事お疲れさまです。


また、正方形や長方形の面積を求めるには、単位となる正方形を敷き詰めて、その個数を求めればよいことから、その総数を求めることに、乗法を使えば便利であることが分かるようにする。そして、縦(または横)に並ぶ単位の正方形の個数は縦(または横)の辺の長さを表す数と一致していることから、(長方形の面積)=(縦)×(横)

という公式が導かれ、更に面積の見方を一歩進めて、長方形の面積が縦と横の辺の長さを用いた計算によって求めることができることを理解できるようにする。


ともすると、長方形の面積は縦の長さと横の長さをかければよい、と形式的に指導されがちであるが、あくまで一辺が1?の正方形の個数を求めるという式の意味を理解できるように指導していく。

http://www.gifu-net.ed.jp/kyoka/sugaku/0210/menseki4.pdf 左記より引用


上記の考え方を参考にすると、縦と横で以下のような違いが生じますよね。三角形の例もあることですし、縦から敷き詰めても横から敷き詰めても同じだよなぁとは思います。下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。


縦に注目

■ ■ ■■■

■ → ■■ → ■■■■

■ ■■ ■■■■

横に注目

■■

→ ■ → ■■■■

■■■■ ■■■■ ■■■■


かけ算ではなく、「敷き詰めていくことをイメージさせる」という点に共感したので、紹介させていただきましたが、ご質問の回答としてはズレてしまっているかもしれないですね。すみません。(※等幅フォント以外だとズレてしまいます。分かりにくい図を書いてすみません)

http://oecc.open.ed.jp/els/els1.htm

↑平行四辺形の説明をやりやすいからかとも考えたのですが、ならばむしろ逆ですよね。

また、

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

この点については、私も不合理だと思います。


なお、ご質問とは直接は関係ないのですが、下記資料で行われている先生の工夫がユニークだったので参考までに紹介させていただきます。

http://www.ysn21.jp/e-project/program/2-p35p36.pdf


以上、少しでも疑問を解く際の足がかりになれば幸いです。

◎質問者からの返答

丁寧にありがとうございます。

>下手すると「そう決まってるから」であり理由はないのかもしれないですね。

やっぱりそうなんでしょうかね……。

面積の場合は、式が逆でも正解として扱う、という対応をすべきなのでかも知れませんね……。むむ。

しかし、だとすると、

「箱の中に、りんごが縦4個、横2個並んでいます。全部でいくつでしょう」

のような場合も、4×2・2×4のいずれでも良い、という扱いになりますね。

むむむ。

紹介して頂いた資料、拝読しました。

面白い……とは思いました。

んー……、あれはつまり、「説明する力」を育てる授業なんですよね。

算数というより国語的だな、と思いました。


2 ● kappagold
●20ポイント

非常に不思議な話ですね。


自信はないのですが、以下のサイトにあるような行列の考え方から、縦掛ける横ということになったのではないかと思います。


http://wiki.fdiary.net/lacs/?Errata

[2006-07-21]

p. 34, 1.2.5 項:

「縦掛ける横」と「横掛ける縦」の話がピンとこない場合は, まず 2 行や 2 列の例を考えてみてください. これを確かめてから「じゃあ 1 行や 1 列なら?」と問い直せば, 今度は自信を持って答えられるはずです. と書いてあるところの下の図を見てください。



しかし、面積には、置いた方向というのは関係ないはずです。

"「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)"という考え方であれば、斜めにおいてある長方形の面積は出せなくなりますね。



指導要綱等からこのようなことになるのでしょうが、子供たちのために柔軟な教え方をしてくださることを願います。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

正直、紹介して頂いた図はよく理解できなかったのです……。

(そもそも行列がよくわかってない)

行列だと、A×BとB×Aはイコールではない、ということからしてさっき知ったので。

「X・Y」の順だと「横・縦」だけど、「行・列」と考えると「縦・横」になる……んでしょうか。

>斜めにおいてある長方形の面積は出せなくなりますね。

そうですね……。

どっちが縦でどっちが横か示されないと立式できない、とすれば。

実際には、長方形の厚紙を子どもに渡して考えさせたりすることも多いので、

「どっちが縦かは見方による」

というのは自ずと明らかになっている……はずだとは思うのですが……。


3 ● SALINGER
●15ポイント

より難しい公式を覚える場合、意味は同じでも違う公式を全て覚える必要はないですよね。

例えば、2次方程式の解の公式でも、通分の仕方によって式が変わります。

式が違っても全て正しいのですが、個々が別の式を使って2次方程式を解くのは間違いじゃなくても理解の妨げになるとの考えです。

長方形の面積で考えると、縦×横でも横×縦でも間違いではなくても、どちらかに統一しておいたほうがより理解しやすいとの考えだと思います。


小学生が長方形の面積を覚える場合、まず縦×横で面積が求まるということを学び、次の段階で横×縦でも同じことが分かるというのを習うでしょう。a×bはb×aに置き換えることができるという概念は先の長方形の面積を求めるということに比べると難しいことなので、まず縦×横としか教えないのではないでしょうか。


では、なぜ横×縦ではなく、縦×横なのか。

推測でしかありませんが、外国の横書きの文化から来てるのではないでしょうか。横書きの場合、文章の量を測る場合、まず何行あるかでだいたいわかり、1行が何文字かということで正確に測れます。これは先に縦が来て次に横ということ。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

>どちらかに統一しておいたほうがより理解しやすい

そうですね。

ただ、そのわりに、

「正方形の場合は“一辺×一辺”」

とか、わりと余計気味な内容も出てくるので困ります。

(確かに間違いではないんですが……。でも、正方形だって縦×横で充分、という気もします)

>外国の横書きの文化から来てるのではないでしょうか。

ああ、なるほど。

そう……なのかも知れませんね。

外国ではどう教えてるんでしょうね?


4 ● KUROX
●1ポイント

>「5×4」は不正解(または減点)

こんなので不正解とか減点なんかありえないですよ。

X,Y座標なんか関係ないですよ。

三角形だって、30度ぐらい回転したものでも面積求められますし、

底辺って、別にX,Y座標関係ないのは明らかです。

長方形だって、回転させれば縦・横が入れ替わります。

入れ替わった長方形の面積は同じです。

実際問題、長方形の土地とかの面積を求めるときに、

どっちが縦か横を選択するかは、主観なわけで・・・。

------------------------------

長方形を求めるのに、

対角線を引いて、2つの3角形だと考えて求めても正解なわけです。

横(底辺)×高さ(横)×1/2×2

これでも、正解なはずです。

平行四辺形の公式で、長方形を求めても良いし、

台形の公式で、長方形を求めてもよいです。

平行四辺形の公式で求めてもOKです。

どれも間違いではありません。

-----------------------------

>「逆でもいいのでは?」と思えてなりません

逆でも問題ないと思います。

親からクレームついたときに、ちゃんと説明できるんでしょうか?

公式がちゃんと使えていないという点で不正解、減点はありですが

問題文が妥当である必要があると思います。長方形の公式を用いて

求めなさいとかそういう一文は必要だと思われます。

------------------------

微積分の概念で考えても、縦×横でも横×縦でも問題ないと思いますが。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

確かに、どんなやり方をしても面積は求められます。

しかし、現に「公式」というものは存在しますね?

(長方形にも正方形にも三角形にも台形にも円にもその他諸々)

「なぜ、長方形の面積を求める公式として“縦×横”が採用されているのか?」

というのが質問なのです。


5 ● j1960
●10ポイント

>「なぜ、長方形の面積を求める公式として“縦×横”が採用されているのか?」


それは日本語で「横縦」よりも「縦横」の方がはるかに一般的な順番だからです。

Googleでの検索結果から見ても明らかに使用頻度が異なります。

"縦横" に一致する日本語のページ 約 3,860,000 件

"横縦" に一致する日本語のページ 約 81,900 件


確かに日本語として「横縦」は存在しますがあまり一般的ではありませんね。「縦横」の方が用例もはるかに多いです。

公式なので縦横のどちらかを先に記述するかを決めてしまわないといけなかったとすると縦横の順番の方が自然な流れだと考えます。

また、

「縦4cm横5cmの長方形の面積」

を求めるにあたって、「4×5」が正解で「5×4」は不正解(または減点)、としている先生も多いと思うのですが、その根拠はあるのでしょうか。(「公式と違うから」以外で)

そんな馬鹿な先生が本当にいるのですか?

長方形の縦と横は90度ずらすとどちらでも交換可能なことを同時に教えてないのですか?

そんな先生がいたとするとその先生は先生をやっている資格が無いですね。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

>日本語で「横縦」よりも「縦横」の方がはるかに一般的な順番だから

そんな気はしていたのですが、本当にそれが理由なのか自信がないのです。

もし、それが理由である、という出典がありましたらご教示ください。

>その先生は先生をやっている資格が無いですね。

そういう先生がいるのは事実と思います。

「公式通りに解く」ということ、もっと言えば、「授業で教えられたとおりに解く」ということを重視する立場の人は多いのです。


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