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数学です。教えて下さい。

上底が4、下底が6の台形があります。
この台形に内接する(台形の4辺に接する)円が描けるとき、この台形の高さはいくつでしょうか。

簡単かもしれませんが、理由つきで解説お願いいたします。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:はてなの使い方 学習・教育
✍キーワード:数学
○ 状態 :キャンセル
└ 回答数 : 14/14件

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1 ● SALINGER

まず、実際に台形の中に円を描きます。

円の中心から台形の各辺に直角になるように線を引きます。

更に、円の中心から台形の各頂点に線を引くと三角形が8個できます。

8個の三角形は実は同じ三角形が4つづつであることがわかります。(2辺が同じ直角三角形だから)

そのことから、台形の他の2辺は長さが5であることがわかります。

上辺の頂点から下辺に垂直な線を引くと斜辺5底辺1の直角三角形ができます。

ピタゴラスの定理により、高さは2√6となります。


2 ● virtual

台形ABCDにおいてBC=6,DA=4とし、内接する円の中心をX,各辺に内接した点,辺AB上をE,辺BC上をF,辺CD上をG,辺DA上をHとする。

内接しているのでHX=EX、AXは共通、角XHA=XEA=直角となりAH=AF。AH=AD/2=2

同様にFX=EX、BXは共通、角XEB=XFB=直角となりFB=EB。又、BF=BC/2=3

よってAB=AE+EB=2+3=5

点Aから辺BCに垂線を下ろした交点をIとすると直角三角形の辺AB=5,BI=1(=(6-4)/2)であるのでピタゴラスの定理よりAIを求めると、

AI=√(5^2-1^2)=√24

よって台形の高さは√24


3 ● kosuke2020

上辺ABの長さが4、下辺CDの長さが6である台形ABCDの高さをh(h>0)とすると、台形ABCDに内接する円Qの半径は\frac{h}{2}になります。

ここで、台形ABCDの下辺CDがx軸上に、内接円Qの中心がy軸上にあるxy座標を導入して、内接円Qの中心を点(0, \frac{h}{2})、頂点ABCDの

座標をA(-a,h)、B(4-a,h)、C(6-b,0)、D(-b,0) (0<a<4, 0<b<6)とおくと、線分AB,CDはそれぞれ(0,h)、(0,0)で円Qに接するので、線分AD,BCが円Qに接する条件を求めます。</p>

点A,Dを通る直線sの方程式はy=\frac{h}{b-a}x+\frac{bh}{(b-a)}、点B,Cを通る直線tの方程式はy=\frac{h}{b-a-2}x+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}

(x',y') と直線 lx+my+n=0 の距離は\frac{|lx'+my'+n|}{\sqrt{l^2+m^2}なので、

(0, \frac{h}{2})と直線s:\frac{h}{b-a}x-y+\frac{bh}{(b-a)}=0との距離は\frac{|-\frac{h}{2}+\frac{bh}{(b-a)}|}{\sqrt{(\frac{h}{b-a})^2+1}}=\frac{|-(b-a)h+2bh|}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=\frac{(b+a)h}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}} (1)

(0, \frac{h}{2})と直線t:\frac{h}{b-a-2}x-y+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}=0との距離は\frac{|-\frac{h}{2}+\frac{(b-6)h}{(b-a-2)}|}{\sqrt{(\frac{h}{b-a-2})^2+1}}=\frac{|-(b-a-2)h+2(b-6)h|}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=\frac{(10-a-b)h}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}} (2)

線分AD,BCが円Qに接するためには、点(0, \frac{h}{2})と線分AD,BCの距離が円の半径\frac{h}{2}に等しくなければならないので、(1)、(2)より、

\frac{(b+a)h}{2\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=\frac{(10-a-b)h}{2\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=\frac{h}{2}

\frac{(b+a)}{\sqrt{h^2+(b-a)^2}}=1 かつ \frac{(10-a-b)}{\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}}=1

b+a=\sqrt{h^2+(b-a)^2 かつ 10-a-b=\sqrt{h^2+(b-a-2)^2}

h^2=(b+a)^2-(b-a)^2 かつ h^2=(10-a-b)^2-(b-a-2)^2}

h^2=4ab かつ h^2=4ab-24a-16b+96

ここで、h^2=4ab=4ab-24a-16b+96より、 24a+16b-96=03a+2b-12=0

bを消去して、

h=\sqrt{4ab}=\sqrt{2a(12-3a)}=\sqrt{6a(4-a)} (0<a<4)</p>

したがって、台形ABCDの高さは0<a<4の範囲で0<h<2√6 の値をとることが分かります。</p>


4 ● revolu

http://d.hatena.ne.jp/revolu/20071221#p14


5 ● 伊田匡嗣

内接する円の半径をrとします。ここでは、面積に注目して立式していきます。

円の半径がrだから台形の高さ(=円の直径)は2r。よって、台形の面積は(4+6)*2r/2です。

一方、円の中心と各接点、円の中心と台形の頂点を結び、台形を8この三角形に分解します。この三角形の面積を足し上げれば良いのです。台形の斜辺は√(1+4r^2)で、円の中心と接点を結ぶ線と接線は直交することに注意すると、台形の面積は

2*r*√(1+4r^2)/2+4*r/2+6*r/2となります。

これらを等号で結んであげれば、r=√6となり、台形の高さは2r=2√6となります。

大きな図を書くことが大切です。


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