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かけ算と割り算について質問です。

例えば線の長さと線の長さを賭けると面積になります。また長さ ÷ 時間は速度になります。『数学入門』(岩波新書、遠山啓著)によるとかけ算、割り算は「新しい量をつくりだす力を持った演算なのである」とあります。

この、かけ算はなぜ新しい量を作ることができるのか、について考えているのですがまだ納得できていません。

同じ『数学入門』の P.70 には「かけ算の規則は他の規則から論理だけの力で導き出せるものではない。それは分数のかけ算の規則と同じく、無数の実例からぬき出されたものである。」という記述があります。これを読むとかけ算は過去の歴史において「新しい量を生み出すための演算」として発明されたのではなく、単純に「足し算の繰り返し」として発明された演算が、どういうわけか異なる量から新しい量を導くことに使えることが分かった、という偶然の産物のように思えてしまいますが、実際のどころはどうなのでしょうか。

●質問者: naoya
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:岩波新書 数学 歴史 演算 発明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 10/10件

▽最新の回答へ

1 ● hkrhr1
●40ポイント

ピタゴラスの定理(直角三角形の面積)がピタゴラスによって発見されたように、実際に仕事をしながら発見されて来たのだと思います。

ピタゴラスの定理:

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras3.ht...

面積は足し算の繰り返しでは表現出来ません。やはり、こう扱うと便利だと発見されたのだと思います。

「新しい量を導くことに使える」と発見されたものでしょう。過去の膨大な知識を下敷きにして発見したものと考えられます。

◎質問者からの返答

なるほど、やはりそうですか。

いきなりですが、自分語り失礼します。

自分は小学生のころからかけ算による単位算が苦手です。というのも、なぜ距離と時間と速度と、異なる量を演算することで答えが導き出せるのかを考えると混乱してしまうのです。

過去の実例でそういうものが見つかったからそうである、というのが本当のところとは分かっていても、もしかしたらもっと意味的なものがあるのかもしれないという期待を持っていまして、その期待が叶えば掛け算に対する苦手意識も解消できるのではないかと思っています。

ほかの方も、引き続き回答お待ちしております。


2 ● Kotobuki_F
●20ポイント

新しい量とは単位のことを言いたいのではないでしょうか。

線の長さ(m)×線の長さ(m)=面積(m^2)

長さ(m)÷時間(s)=速度(m/s)

量の足し算は単位が変わりませんが,量のかけ算は単位が変わります。

これは答えの量が違う意味を持っているということです。

◎質問者からの返答

そうなんです。それで、答えの量が違う演算はなぜかけ算によって可能か、またかけ算がなぜそのような演算を表現するかについてが疑問です。


3 ● NoMoTo
●50ポイント

逆に考えることもできるのではないでしょうか。

かけ算や割り算(特に割合の計算等)で生まれたものに新しく意味を付与しているものだとも考えられます。

長さと、その長さ進むのにかかった時間がわかっているとして、単位時間あたりの移動距離が考えられます。これはまだ速さをあらわしているわけではありません。

割り算でえられたものはあくまでも単位時間あたりの移動距離なのですが、単位時間で5m進むものと10m進むものを考えた時に目で見て速さが違うことがわかります。それを『速さ』を比べるものとして利用したと考えてみるとか。

ぱっと他の具体例が出ないのでとりあえずこれだけ。

◎質問者からの返答

確かに。そもそも長さや重さといった単位は、連続量を計算で扱えるよう単位を決めたもので、単位を決める = 意味付けだとすると、そのかけ算の演算結果にも何かしらの意味づけをするように拡張するのは自然な流れですね。これはとても納得がいきます。


4 ● Gay_Yahng
●40ポイント

掛け算だから、割り算だから と言うよりは単位をそのように定義したからでは?

速度を表すのにどのようにしよう?

1時間でどのくらい進むかを単位に決めよう。

時間当たりだから、距離/時間 になる。

と言うことで割り算が使われる。

意味からいえば1時間当たりと言う単位を考えて

1/時間

として、これに距離を掛け算すれば速度になると考えても良いですよね。

速度=1/時間×距離

◎質問者からの返答

やはりそういうことになりそうです。特に速度や密度、面積のような単位は、明確にそうであるように思います。

ところで、物理学的には長さ、時間、質量の三つの量を定義すれば、そのほかのすべての量は掛け算、割り算によって作ることができるそうです。この「長さ、時間、質量」と「人がそのように決めた単位」というものがどうしてかけ算でつながるのか...などと考えているとまだ少しモヤモヤが残ったような感じです。


5 ● yamadakouzi
●25ポイント

「数値」と「数量」の認識です。数値は無次元なので掛け(賭けではありません)ても割っても数値です。

数量は次元(ディメンション)があります長さ×長さ=面積、次元の異なる数量は加える事や差し引くことはできません。

掛けたり、割ったりすると新しい次元の数量が生まれるとはそういうことです。

例:面積(L*L)と体積(L*L*L)の足し算は意味がありませんが体積を面積で割ると長さ(平均高さ)が求められます。

普通、計算するときは「数値」で計算し後でディメンションをつけますが、それぞれの項のディメンションが全て一致してなければ和、差は計算できません。そこのところをいい加減に考えているとえらい目にあいます。

◎質問者からの返答

次元を軸に、というのは体系化された考えてとてもよいですね。ありがとうございます。

あとは、なぜかけ算という演算が次元を上げる働きをするかが気になるところです。


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