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f(c)=c2乗-2ac+3a=0が-1≦c≦1に少なくとも1つの解を持つ条件は?
手元の解答には次の2通りに場合分けがされています。[1]「1つの解がc=-1」または「1つの解がc=1」または「1つの解が-1<c<1に、他の解がc<-1、1<cにある」とき。[2]解がともに-1<c<1にあるとき。まず、[1]の3つ目の条件については、f(-1)×f(1)<0となるのはわかります。しかし、1つ目と2つ目をあわせるとわからなくなります。なぜf(-1)×f(1)≦0が-1≦c≦1に1つの解を持つ条件と言えるのでしょうか?f(-1)×f(1)=0もOKなら、c=1またはc=-1で重解をとるとき、あるいはc=1、-1が共に解であるときもOKになってしまう。それは[2]の条件ではないか?そんなふうに思ってしまいます。だから[2]の条件にイコールがついていないのもわかりません。誰か解決してくださーい。お願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:けが イコール
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● kosuke2020
●2ポイント

「(2つの)解がともに-1<c<1にある」、というのは、「f(-1)>0かつf(1)>0かつf(C)の頂点の座標が0以下になる(0のときは重解)」、と同じ条件です。

f(-1)とf(1)はどちらも0より大きくなければなりません。

もし、f(-1)=0となる場合、c=-1はf(C)=0の解となるため、「(2つの)解がともに-1<c<1にある」という条件を満たさなくなります。範囲-1<c<1にC=-1は含みません。含むのであれば、-1≦c<1と書かなければならないでしょう。

ですから、「(2つの)解がともに-1<c<1にある」という条件を満たす場合、f(-1)とf(1)は0になることはありません。したがって、場合分けの[1]と[2]は重なることはないです。


2 ● kosuke2020
●3ポイント

申し訳ありませんが、追記です。

[1]の条件のうちの「1つの解がc=-1」についてですが、このときもう一つの解については条件で制限されていません。この条件だけだと、

?「もう一つの解はc<-1, 1<cにある(f(c)=0の解は-1≦c≦1にc=-1の1つだけ)?「もう一つの解は-1≦c≦1にある(f(c)=0の解は-1≦c≦1に2つ)」</p>

の2つどちらでもいいことになります。つまり、f(c)は重解であろうが、異なる実数解をもとうが、「1つの解がc=-1」であればf(c)=0は-1≦c≦1の範囲でc=-1を含む1つか2つの解をもつことになります。つまり、f(c)が-1≦c≦1で解をもつという条件を満たすことになりますね。これは「1つの解がc=1」のときも同様です。

では、「1つの解がc=-1」「1つの解がc=1」のどちらでもない場合はどうでしょうか。

このときに上の条件の「1つの解が-1<c<1に、他の解がc<-1、1<cにある」「解がともに-1<c<1にある」の2つの場合分けを使用すればいいことが分かります。

つまり、場合分けを、(a)「1つの解がc=-1である」、(b)「1つの解がc=1である」、(c)「C=1,-1はどちらも解ではない」の3通りで場合分けした後に、条件(c)をさらに(c)-1「1つの解が-1<c<1に、他の解がc<-1、1<cにある」,

(c)-2「解がともに-1<c<1にある」で場合分けすれば、どの条件も重なることがないことが分かると思います。

◎質問者からの返答

自分の説明不足だったかもしれません。いただきました回答は、自分が考えていることと

同じように思えます。実は、某サイトにて同じ質問をしたのですが、場合分けの線引きは

「解が1つの場合」と「2つの場合」だと回答を得たのです。食い下がりましたが、疑問が

晴れず、こちらで再度質問したわけです。しかし、実際、そういう線引きでないと、基準

のない線引きのようでおかしいわけです。『なぜf(-1)×f(1)≦0が-1≦c≦1に1つの解を

持つ条件と言えるのでしょうか?』とはそういう意味です。


3 ● juic
●15ポイント

結論から言うと、「f(-1)×f(1)≦0」が「-1≦c≦1に1つの解を持つ」条件ではありません。


解の個数で場合分けすると以下のようになるでしょう。

?実数解が1つしかなく(重解)、それが-1≦c≦1 ⇔ D=0 かつ -1≦軸≦1

?実数解は2つある。

(i)2つとも-1≦c≦1 ⇔ D>0 かつ-1<軸<1 かつ f(-1)≧0 かつ f(1)≧0

(ii-ア)ひとつは-1≦c≦1、もう一つは-1≦c ⇔ D>0 かつ f(-1)≦0 かつ f(1)≧0

(ii-イ)ひとつは-1≦c≦1、もう一つはc≦1 ⇔ D>0 かつ f(-1)≧0 かつ f(1)≦0

この分け方だと、解の状況がつかみやすいと思います。ちなみに、?で条件を重複して考えていますが、解答上問題はありません。

ですが、計算がやや煩雑なのと、より解答を美しくするために分け方を変えます。一度更に細かく分けましょう。


?'実数解が1つしかなく、それが-1<c<1 ⇔ D=0 かつ -1<軸<1

?''実数解が1つしかなく、それがc=-1 ⇔ D=0 かつ f(-1)=0

?'''実数解が1つしかなく、それがc=1 ⇔ D=0 かつ f(1)=0

?実数解は2つある。

(i)'2つとも-1<c<1 ⇔ D>0 かつ-1<軸<1 かつ f(-1)>0 かつ f(-1)>0

(i)''ひとつはc=-1、もう一つは-1<c<1 ⇔ D>0 かつ-1<軸<1 かつ f(-1)=0 かつ f(1)>0

(i)'''ひとつはc=1、もう一つは-1<c<1 ⇔ D>0 かつ-1<軸<1 かつ f(-1)>0 かつ f(1)=0


?''、?'''、?(i)''、?(i)'''、?(ii-ア)、?(ii-イ)、を合わせた条件が、「f(-1)×f(1)≦0」です。(この中にD≧0という条件も入っています。)


こうすると、解の状況がわかりにくくなりますが、条件式がシンプルで計算が楽になるわけです。


4 ● 伊田匡嗣
●70ポイント ベストアンサー

ひとつひとつ考えてみましょうか?

f(x)=x^2-2ax+3a=0(-1≦x≦1)

が少なくとも一つ解を持つ条件は?ということですよね。


じゃあ、まず、区間を無視して、f(x)=0って何個解を持ちます?判別式で場合分け:

判別式=(2a)^2-4*3a=4a^2-12a=4a(a-3)ですので、

異なる2つの実解をもつ:4a(a-3)>0だからa<0,3<a

重解をもつ:a=0,3

解を持たない:0<a<3


おのおのの場合について考えてみます。


(1)f(x)=0が解を持たないとき:

もちろんf(x)=0(-1≦x≦1)でも解はないですよね。


(2)f(x)=0が重解をもつとき:

具体的に計算してあげます。

(イ)a=0のとき、f(x)=x^2

これが0だから、解はひとつ存在。

(ロ)a=3のとき、f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2

これが0なら、x=3ですが、-1≦x≦1じゃないので、この場合は解は存在しない


(3)f(x)=0が異なる2つの実解をもつとき

このときは解の個数で場合分けをします。

(ハ)f(x)=0(-1≦x≦1)が1つ解を持つとき:

f(-1)×f(1)≦0が成立、、、、、というのは大丈夫ですか?

この場合、重解の可能性はありません(だって、それをaの範囲で仮定してますよね)。f(x)=0は必ず2つの異なる解を持つのですよ。で、一方が-1≦x≦1だったら良い訳だからf(-1)×f(1)≦0

(ニ)f(x)=0(-1≦x≦1)が2つの解を持つとき:

軸が-1≦x≦1の中にあって、かつf(1)>=0,かつf(-1)>=0


以上より.....(以下略)


質問の考え方のどのあたりがマズいのか?っていうと、「そもそもf(x)=0って解はどれだけあるの?」ということを考えてないんですよね。それでの場合分けが必要だっていうのがまずひとつ、というか全て。普通は、最初に判別式の場合分けがあって、そのあとに解の数の場合分けをするんですけどね

長くてごめんなさい。まとめようかなあ?とか思ったけど、まとまらなかった。。。。。あとは、自分の手を動かして考えることかなあ?グラフを書いてみることも大切です

◎質問者からの返答

す、すごい!ずごずぎる!わかりやすい!

お金がなく、独学で困っていたところ、本当に助かりました。

ありがとうございます。



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