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フーリエ変換について質問です。

f(t)=t sin(ω0t)
-∞<t<∞のとき、フーリエ変換F(ω)の求め方と答えを教えてください。

∫f(t)e^-iωt |-∞→∞ というフーリエ変換の公式があるのですが、
上記の問題のω0とこの公式のωを同一のものとみて計算してよいのか、別のものとみて計算すればよいのかがわかりませんでした。

よろしくお願いします。

●質問者: はとね
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:sin フーリエ変換 計算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● hidering
●23ポイント

数学に関しては随分昔にやったことなので忘れてしまいましたが、

フーリエ変換については、『フーリエの冒険』という書籍が参考になりますよ。

この本は中学生程度の学力があれば、フーリエ変換についてわかるように解説されています。

随分昔からある本ですが、定評があり良書です。(表紙が安っぽいですが。。。)

大きな書店なら今でも置いてあると思います。

購入する場合は、中身を確認してからにして下さいね。

http://www.7andy.jp/books/detail?accd=30514589&pg_from=rcmd_deta...

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

図書館で探して読んでみたいと思います。


2 ● kosuke2020
●23ポイント

\omega_0を定数として答えます。

(f(x)g(x)h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)より、

\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=-\frac{1}{\omega_0}\{\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}

\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{1}{\omega_0}\{\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}

\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}=0\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}=0

\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{\omega_0}{s^2+{\omega_0}^2}

\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+{\omega_0}^2}

以上より、

F(s)=\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt=-\frac{1}{\omega_0}\{\[t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}

=-\frac{1}{\omega_0}\{-\frac{s}{s^2+{\omega_0}^2}+s\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_0}\int_{0}^{\infty}t\cos(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}

=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_{0}^2}\{\[t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}\]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt-(-s)\int_{0}^{\infty}t\sin(\omega_{0}t)e^{-st}dt\}

=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s}{\omega_{0}^2}\{-\frac{\omega_0}{s^2+{\omega_0}^2}+sF(s)\}

=\frac{s}{\omega_{0}(s^2+{\omega_0}^2)}+\frac{s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s^2}{\omega_{0}^2}F(s)=\frac{2s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)}-\frac{s^2}{\omega_{0}^2}F(s)

(1+\frac{s^2}{\omega_{0}^2})F(s)=\frac{2s\omega_0}{\omega_{0}^2(s^2+{\omega_0}^2)} よって F(s)=\frac{2s\omega_0}{(s^2+{\omega_0}^2)^2}(終)

ちなみに、前回質問されていた問題は回答者の答えてた解き方であってたのでしょうか? ちょっと気になってまして^^:

◎質問者からの返答

とても丁寧に導出していただけて本当に嬉しいのですが、フーリエ変換ではなくラプラス変換を行っているようです。

でも、今後の参考にします。本当にありがとうございました。

回答者様の解答で無理やり導出することはできました。

ただ、前回の問題は、定義域のミス…というのが結論でした。


3 ● Rec
●22ポイント

デルタ関数が出てきちゃうんですが、以下の方法で計算できます。

まず、

\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=i\frac{d}{d\omega}\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt

と変形できることに注意します。

この積分について考えます。被積分関数中の\sin(\omega_0 t)

\sin(\omega_0 t)=\frac{e^{i\omega_0t}-e^{-i\omega_0t}}{2i}

と変形できるので

\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2i}\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt-\frac{1}{2i}\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega_0+\omega)t}dt

です。右辺の第一項は1のフーリエ変換なので

\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt=\delta(\omega-\omega_0)

右辺第二項も1のフーリエ変換で

\int^\infty_{-\infty}e^{-i(\omega+\omega_0)t}dt=\delta(\omega+\omega_0)

となります。

(フーリエ変換表参照:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A...)

これを元の式に戻して

\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2i}\delta(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2i}\delta(\omega+\omega_0)

となり、さらに最初の式に戻せば

\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2}\frac{d}{d\omega}\delta(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2}\frac{d}{d\omega}\delta(\omega+\omega_0)

を得ます

◎質問者からの返答

おお!

デルタ関数が出ることで、さっくり計算できるのですね。

\int _{-\infty} ^{\infty} t sin (ω_0t)e^{-iωt} =i\frac{d}{dω}\int _{-\infty} ^{\infty} sin (ω_0t)e^{-iωt}

このときの、i\frac{d}{dω}がピンときません。

もしよろしければ、もう少し分かりやすく教えていただけないでしょうか?


4 ● Rec
●22ポイント

>hatyoneさん

↑のコメントに対する補足です。

元々のフーリエ変換したい関数にtが掛かっているのが邪魔なんですね。

そこで、指数関数の部分の\omegaに関する微分

\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}=-ite^{-i\omega t}

を利用します。元々の関数の形に合わせるために、両辺にiを掛けて

i\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}=te^{-i\omega t}

としておきます。この形を代入することで

\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)i\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}dt

を得ます。

実は、この形に持っていったときに\omegaに関係するものがe^{-i\omega t}しか無いのがポイントです。もちろん\omega_0\omegaとは別物です。

ということは、このi\frac{d}{d\omega}は式の前の方に持ってくることが出来て、(逆に言えば、\omega=\omega_0だったらこの変形はできません)

\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)i\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}dt=\int^\infty_{-\infty}i\frac{d}{d\omega}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt

となります。上式は\omegaについて微分してからtについて積分するという順序ですが、\omega,tは別の変数なので、積分と微分の順序は入れ替えて構いません。従って、

\int^\infty_{-\infty}t\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt=i\frac{d}{d\omega}\int^\infty_{-\infty}\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}dt

と変形できることが分かります。

以上です。如何でしょうか?

◎質問者からの返答

とても分かりやすかったです。

凄く感動しました。

ありがとうございます!!

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