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一辺の長さm、各頂点をa、b、c、dとする正四面体があります。重心が原点で頂点aはZ軸上(底面bcdがXY平面と並行)、辺bcがX軸と並行(頂点dのx=0)とした場合

?各頂点(a、b、c、d)の座標を教えてください。
?各辺(ab,ac,ad,bc,bd,cd)の中点の座標を教えてください。


●質問者: irhnhhtn
●カテゴリ:コンピュータ 学習・教育
✍キーワード:AC AD BC BCD BD
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● kanan5100
●35ポイント

8種類の解がありますが、そのうち

頂点aのz座標>0,

頂点bのx座標>0,

頂点dのy座標>0

の場合。

a(0, 0, (√6)m/4)

b(m/2, -(√3)m/6, -(√6)m/12)

c(-m/2, -(√3)m/6, -(√6)m/12)

d(0, (√3)m/3, -(√6)m/12)

abの中点(m/4, -(√3)m/12, (√6)m/12)

acの中点(-m/4, -(√3)m/12, (√6)m/12)

adの中点(0, (√3)m/6, (√6)m/12)

bcの中点(0, -(√3)m/6, -(√6)m/12)

bdの中点(m/4, (√3)m/12, -(√6)m/12)

cdの中点(-m/4, (√3)m/12, -(√6)m/12)

必ず検算してください^^

◎質問者からの返答

解の種類は限定したつもりだったのですが・・・すみません。

ありがとうございました。


2 ● juic
●35ポイント

b,cのy座標は正でdのy座標は負、またbのx座標は正でcのx座標は負であるものとします。(*)


bcの中点をnとします。bn=m/2、ab=mより、am=m√3/2

また、△bcdの中点をgとすると、dg:gn=2:1よりdg=m√3/3、gn=m√3/6

△adgにおいて三平方の定理より、ag=m√6/3

ao:og=3:1であるから(※)、ao=m√6/4、og=m√6/12

(※ここの証明は省略します。oは原点)

よってa(0,0,m√6/4)

g(0,0,-m√6/12)であり、dg=m√3/3であったので、d(0,-m√3/3,-m√6/12)

bcはy軸に垂直であり、gn=m√3/6であったので、b,cのy座標はm√3/6

bn=nc=m/2なので、b(m/2,m√3/6,-m√6/12)、c(-m/2,m√3/6,-m√6/12)


abの中点は(m/4,m√3/12,m√6/12)

acの中点は(-m/4,m√3/12,m√6/12)

adの中点は(0,-m√3/6,m√6/12)

bcの中点は(0,m√3/6,-m√6/12)

bdの中点は(m/4,-m√3/12,-m√6/12)

cdの中点は(-m/4,-m√3/12,-m√6/12)

(*)の仮定が異なる場合はマイナスのつくところが変わりますが、考え方は同様です。

◎質問者からの返答

ありがとうございました。

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