人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

2変数の独立変数x,yに関する関数uについて汎関数
I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA
を停留化する条件を教えてください

●質問者: shinmu
●カテゴリ:コンピュータ 学習・教育
✍キーワード:Da 変数 汎関数 独立 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● ita
●100ポイント

I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA

u(x,y)が各点でδu(x,y)だけ変化した場合の増分を考えると、

\delta I = \int_A \delta F dA

\partial u/\partial x=u_xなどと書き、\partial F/\partial u_x=F_{ux}などと書くと、

\delta F= F_u \delta u + F_{ux} \delta u_x + F_{uy} \delta u_y

後ろ二つを部分積分でδuの積分に変換。ベクトル場\vec{V}=(F_{ux}, F_{uy})と定義すると

\delta I = \int_A F_u \delta u + \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)

グリーンの定理から

\int_A \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)=\int_S \vec{V}\cdot d\vec{S} \delta u -\int_A (\nabla \cdot \vec{V})\delta u ここでSは積分範囲Aの境界でdSは境界での微小法線ベクトル。境界でuが固定されているならここでδu=0なので前者は0。

したがって\delta I = \int_A \delta u (F_u -\nabla \cdot \vec{V}) dA。δuの係数が各点で0が停留条件。書き出すと

 \partial F/\partial u - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial x)} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial y)}=0

◎質問者からの返答

ありがとうございます。助かりましたm(_ _)m

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ