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解答のついていない練習問題で、次の分数式のxに関する不定積分を考えましたが、力尽きました。どなたかご教示お願いします。
1/(1 + e^x)


●質問者: わにかめ78
●カテゴリ:はてなの使い方 学習・教育
✍キーワード:積分
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kosuke2020
●40ポイント

f(x)=-log|e^{-x}+1|ですね。

f'(x)=-\frac{1}{e^{-x}+1}*(-e^{-x})

=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\frac{1}{1+e^x}

◎質問者からの返答

koseke2020さん解答ありがとうございます。f(x)の真数部ですが、e^-xは正なので、真数が負の数にはなり得ず、絶対値記号は不要ではないでしょうか?それだとすれば、真数部を通分すると、

(1+e^x)/e^x となると思います。したがって、

f(x) = -log[(1+e^x)/e^x]=log(e^x)-log(1+e^x)=x-log(1+e^x)

よって、

f'(x)= 1-e^x/(1+e^x)=1/(1+e^x) 命題の与式になりました。

別解として、suzumenoko_pokeさんのtで置換する方法でも出来るはずと思うのですが、結果が一致しません。どちらも正しく思えます。


2 ● toketake
●0ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9...


3 ● suzumenoko_poke
●40ポイント

1+e^x=tとおくと

\int\frac{1}{1+e^x}dx=\int\frac{1}{t}dx

\frac{dt}{dx}=e^xよりdx=\frac{dt}{e^x}=\frac{dt}{t-1}

よって\int(1+e^x)dx=\int{tdx}=\int\frac{dt}{t(t-1)}=\int(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t})dt

=log|t-1|-log|t|+C=log{e^x}-log(1+e^x)+C=x-log(1+e^x)+C

◎質問者からの返答

suzumenoko_pokeさん回等ありがとうございます。なるほど、tfで置換するのはよくわかります。ただ、kousuke2020さんの回等と食い違うので、ひとつ確認ですが、dx=dt/(t-1)なら、∫tdx = ∫tdt/(t-1)=∫dt+∫dt/(t-1)ではないでしょうか?引き続きお願いします。

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