人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

<問題>
xy平面に定点A(-2,1)と放物線C:y=x^2がある。C上の動点Pに対し、
半直線AP上にAP'=2APとなる点P'をとる。点P'の描く曲線を求めよ。
<手元にある解答>
P(x,y),P'(α,β)とおくと、Pが線分AP'の中点であることから、
x={α+(-2)}/2 かつ y=(β+1)/2・・・(*)
である。これで定まる点(x,y)が放物線C上にあるような点(α,β)の全体が、
求める点P'の軌跡である。そこで(*)を
y=x^2・・・?
に代入して、整理すると
β=1/2(α-2)^2-1
である。これを満足する点(α,β)の全体、すなわち
放物線y=1/2(x-2)^2-1
が求めるものである。
<質問>
?への代入の箇所について、なぜ代入するのですか?
どういう意味から、そうするのですか?理屈がわかりません。教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AP 半直 理屈
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● Sampo
●30ポイント

という前提のもとに話をするのですから

の3式は(上の前提のもとでは)常に真です。ですから、この3式からどう導出した式もすべて真です。

これがまず頭にあります。


目的は、αとβの関係を知ること、もっと具体的にいえば、αかβが含まれ、αとβ以外の文字が含まれていない、常に真である式を得ることです。

簡単に言えば、xとyが邪魔だから消去してしまいたいんですね。数式を正しくいじって、xとyのない、αかβの含まれた式を得るには……

せっかく、x=……、y=……の形の式があるのだから、これをy=x^2に代入してしまえばxもyも一気に消えてしまい、目的の式が得られる、というわけです。

http://dummy

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

回答への質問をコメント欄に書きましたので、

再度、回答をいただけましたら嬉しいです。


2 ● juic
●30ポイント

この問題には、主に2つの条件があります。

条件1:AP=AP'

条件2:点PはC上にある ⇔P(x,y) とおくと y=x^2 を満たす

その上で、

問い:P'(α,β)とおくと、α,βの満たす関係式を求めよ。(≒「点P'の描く曲線を求めよ。」)


さて、条件1から(*)が出てきます。では条件2はどのように使うのでしょうか。

(*)の式の中に、x,yの文字があります。

これは何だったかというと、P(x,y)とおいたものです。だから y=x^2 は条件2より成り立ちます。

y=x^2・・・?

また、x=(α-2)/2 かつ y=(β+1)/2・・・(*)

これは、x という値と、(α-2)/2 という値が同じということです。同じなのだから、?の x を(α-2)/2に書き換えます。

y と (β+1)/2 も同様です。

なぜ書き換えるかというと、問いが「α,βの満たす関係式を求めよ。」だからです。


――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

参考として、別の方法を書きます。(こちらは類題を解く時に使いづらいことがあります。)

(*)のyの式を変形して、β=2y-1

y=x^2を満たすので代入して、β=2x^2-1

これに(*)のxの式を代入して、β=2{(α-2)/2}^2-1



http://www.hatena.ne.jp/ ←ダミー

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

回答への質問をコメント欄に書きましたので、

再度、回答をいただけましたら嬉しいです。


3 ● juic
●30ポイント

再質問の回答です。

確かにここまでの解答でわかることは、厳密には

点P'が条件1と2を満たす ⇒ β=1/2(α-2)^2-1 …(#)が成り立つ

ですね。「逆」が成り立つことは説明されていません。つまり、

「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」

ことは解答に含まれていません。


これは次のようにして証明できます。

任意の放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の点P'(α,β)をとる。

ここで、点((α-2)/2,(β+1)/2)を考えると、これは条件1を満たす(つまりAP'の中点である)。

更に、これは条件2も満たす。なぜならば、P'(α,β)はC'上の点をとってきたのだから、(#)が成り立つ。

β=1/2(α-2)^2-1

β+1=1/2(α-2)^2

(β+1)/2=1/4(α-2)^2

(β+1)/2={1/2(α-2)}^2 ←y=x^2の形

よって「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」。


見ての通り、最初の解答を逆にたどっていっただけですので、こういう場合は「逆」が成り立つことのの証明は省略できる、というのが通例です。


――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

ただし、他の奇跡の問題の中には、逆は成り立たない場合もあります。

つまり、計算して出てきた図形の中に、条件を満たさない"例外の"点がある問題もがある、ということです。

ですので、解答上はともかく、頭では例外があるか考えた方がより確実ではあると思います。


http://www.hatena.ne.jp/

◎質問者からの返答

再回答をしていただきまして、ありがとうございます。

理解がまだ整ってはいませんが、解決できそうです。よかったです。

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ