高校1年生の数学です｡ xの整式f(x)を(x-1)^2で割ると余りは-x+5で､x+2で割ると余りは-2です｡では､f(x)を{(x-1)^2}(x+2)で割ると余りはいくつになるでしょうか？ｾﾝ…

f(x)= A{(x-1)^2} + (-x+5)

f(x)= B(x+2) -2

という形で書ける f(x) について､

f(x)= C{(x-1)^2}(x+2) + g(x) の g(x) を求めます｡これは

g(x) = D(-x+5) + E とおくことができて､

g(1) = -1+5 = 4

g(-2) = -2

になるはずなので､

4D+E=4 -> E = 4-4D

7D+E=-2 -> 3D = -6

となって､

D=-2 E=12

よって､余りは 2x+2 となります｡‥たぶん(弱)

g(x)=D(-x+5)+E とおいているところが間違いです｡

整式を三次式で割った余りは､二次式以下になるはずです｡

えっと､僕はsokyoさんみたいに数式を書くﾂｰﾙを持ってないので､見づらいですが､

最初の条件から､f(x)={(x-1)^2}(x+2)q(x) + a (x-1)^2 - x + 5とおけるはずで､

二番目の条件からは､f(-2) = -2

よって､f(-2) = 9a + 7 = -2

a = -1

したがって､与式を{(x-1)^2}(x+2)で割った余りは､

(-1)(x-1)^2 -x + 5 = -x ^2 + x

計算間違いなどは､ご容赦の程を｡

問題文を

$f(x) = (x-1)^2 g1(x) + (-x+5)$ ... (1)

$f(x) = (x+2) g2(x) + (-2)$ ... (2)

と表す｡

ここで､ $f(x)$ を $(x-1)^2 (x+2)$ で割ると

$f(x) = (x-1)^2 (x+2) g3(x) + ax^2 + bx + c$

と表記できる｡

そこで､余りである

$f(x) = ax^2 + bx + c$ を $(x-1)^2$

で割ることを考えると､(1) より

$ax^2 + bx + c = a(x-1)^2 + (-x+5)$ ... (3)

と表すことができる｡すなわち､

$f(x) = (x-1)^2 (x+2) g3(x) + a(x-1)^2 + (-x+5)$

である｡

一方､(2) より､ $f(-2) = (-2)$ が成り立つ｡

(3) より､

$a(-2-1)^2 + (2+5) = (-2)$

$9a + 7 = (-2)$

$a = -1$

よって､求める余りは

$(-1)(x-1)^2 + (-x+5) = -x^2 +x + 4$

である｡

pahooさんと前半は一緒｡

問題文による数式で割れるという前提から

f(x)={(x-1)^2}(x+2)g(x)+Ax^2+Bx+C とでもおく

(x-1)^2でわると余り(-x+5)なので右辺のAx^2+Bx+C = A(x-1)^2-x+5と書き換えられる｡

また､(x+2)で割ると余り-2なので同様にAx^2+Bx+C = A(x+2)(x+b)-2 A,bは任意の実数

展開して比較

Ax^2-(2A+1)x+A+5 ....?

Ax^2+A(2+b)x+2Ab-2 ....?

?と?は同じ式なので

1-2A=2A+Ab ....?

A+5=2Ab-2 ....?

まとめると

Ab+4A=-1 ....?’

2Ab-A=7 ....?’

?’の両辺を2倍して?’をひくとA=-1がでてくる｡

よって､?から答えは -x^2+x+4

まずは､仮定がｺﾚ

f(x)=A(x){(x-1)^2}+(-x+5)

f(x)=B(x)(x+2)+(-2)

f(x)を{(x-1)^2}(x+2)で割った商をQ(x)､余りをR(x)とします｡このとき､f(x)は

f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)

と書けますよね｡これを変形していってみます(R(x)の次数は高々2次)

f(x)

=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)

=Q(x)x{(x-1)^2}+2Q(x){(x-1)^2}+R(x)

ここで､f(x)を{(x-1)^2}で割ると､余りは-x+5になるので､R(x)=C{(x-1)^2}+(-x+5)と書けます｡これをf(x)に代入すれば､

f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+C(x){(x-1)^2}+(-x+5)

さらに､f(x)をx+2で割ると余りが-2になるのだからR(x)をx+2で割るとあまりが-2になるﾊｽﾞ｡｡｡｡｡だから､R(x)をx+2で割ってみます｡と､その前にR(x)の次数は高々2次だから､Cは定数ですね｡で､

R(x)

=C{((x+2)-3)^2}+(-x+5)

=C{(x+2)^2}-6C(x+2)+9C+(-x+5)

=(x+2){C(x+2)-6C}-x+(9C+5)

となるんです｡で､R(x)をx+2で割ってみると､余りは9C+7｡これが-2と等しいからC=-1

だから､R(x)=-(x-1)^2-x+5となります(あとは展開するだけ)

割り算するときは､余りの次数を気にしないといけないんですね｡ごめんなさい､あんまり整理できてませんけど､こんな感じでしょうか？