f(x)= A{(x-1)^2} + (-x+5)
f(x)= B(x+2) -2
という形で書ける f(x) について、
f(x)= C{(x-1)^2}(x+2) + g(x) の g(x) を求めます。これは
g(x) = D(-x+5) + E とおくことができて、
g(1) = -1+5 = 4
g(-2) = -2
になるはずなので、
4D+E=4 -> E = 4-4D
7D+E=-2 -> 3D = -6
となって、
D=-2 E=12
よって、余りは 2x+2 となります。‥たぶん(弱)
うーん。微妙。
根拠は示せないけど、正しいか確信がもてないです。
ひきつづき回答をお待ちします。
g(x)=D(-x+5)+E とおいているところが間違いです。
整式を三次式で割った余りは、二次式以下になるはずです。
えっと、僕はsokyoさんみたいに数式を書くツールを持ってないので、見づらいですが、
最初の条件から、f(x)={(x-1)^2}(x+2)q(x) + a (x-1)^2 - x + 5とおけるはずで、
二番目の条件からは、f(-2) = -2
よって、f(-2) = 9a + 7 = -2
a = -1
したがって、与式を{(x-1)^2}(x+2)で割った余りは、
(-1)(x-1)^2 -x + 5 = -x ^2 + x
計算間違いなどは、ご容赦の程を。
答えは-x^2+x+4の間違いですかな?
問題文を
... (1)
... (2)
と表す。
ここで、 を
で割ると
と表記できる。
そこで、余りである
を
で割ることを考えると、(1) より
... (3)
と表すことができる。すなわち、
である。
一方、(2) より、 が成り立つ。
(3) より、
よって、求める余りは
である。
9行目と10行目ですが、どうして、(x-1)^2でその余りを割ることを考えるのかがわかりません。
アドバイスよろしくです。
pahooさんと前半は一緒。
問題文による数式で割れるという前提から
f(x)={(x-1)^2}(x+2)g(x)+Ax^2+Bx+C とでもおく
(x-1)^2でわると余り(-x+5)なので右辺のAx^2+Bx+C = A(x-1)^2-x+5と書き換えられる。
また、(x+2)で割ると余り-2なので同様にAx^2+Bx+C = A(x+2)(x+b)-2 A,bは任意の実数
展開して比較
Ax^2-(2A+1)x+A+5 ....?
Ax^2+A(2+b)x+2Ab-2 ....?
?と?は同じ式なので
1-2A=2A+Ab ....?
A+5=2Ab-2 ....?
まとめると
Ab+4A=-1 ....?’
2Ab-A=7 ....?’
?’の両辺を2倍して?’をひくとA=-1がでてくる。
よって、?から答えは -x^2+x+4
まずは、仮定がコレ
f(x)=A(x){(x-1)^2}+(-x+5)
f(x)=B(x)(x+2)+(-2)
f(x)を{(x-1)^2}(x+2)で割った商をQ(x)、余りをR(x)とします。このとき、f(x)は
f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)
と書けますよね。これを変形していってみます(R(x)の次数は高々2次)
f(x)
=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+R(x)
=Q(x)x{(x-1)^2}+2Q(x){(x-1)^2}+R(x)
ここで、f(x)を{(x-1)^2}で割ると、余りは-x+5になるので、R(x)=C{(x-1)^2}+(-x+5)と書けます。これをf(x)に代入すれば、
f(x)=Q(x){(x-1)^2}(x+2)+C(x){(x-1)^2}+(-x+5)
さらに、f(x)をx+2で割ると余りが-2になるのだからR(x)をx+2で割るとあまりが-2になるハズ。。。。。だから、R(x)をx+2で割ってみます。と、その前にR(x)の次数は高々2次だから、Cは定数ですね。で、
R(x)
=C{((x+2)-3)^2}+(-x+5)
=C{(x+2)^2}-6C(x+2)+9C+(-x+5)
=(x+2){C(x+2)-6C}-x+(9C+5)
となるんです。で、R(x)をx+2で割ってみると、余りは9C+7。これが-2と等しいからC=-1
だから、R(x)=-(x-1)^2-x+5となります(あとは展開するだけ)
割り算するときは、余りの次数を気にしないといけないんですね。ごめんなさい、あんまり整理できてませんけど、こんな感じでしょうか?