人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

<問題>
中心A(a,b),半径rである円のB(x1,y1)における接線が(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2で
表されることを証明しなさい。
<解答例>
Bを通ってABに直行する直線は、(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0・・・(1)である。
一方、Bは円周上の点であるから、(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2・・・(2)が成り立つ。
(2)のもとで、(1)は(1)+(2)、すなわち、(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2
と同値である。
<質問>
どうして『(2)のもとで、(1)は(1)+(2)と同値である』と言えるのですか?

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:X1 同値 直行 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● garyo
●17ポイント

(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0・・・(1)

(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2・・・(2)

(1)+(2)

(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)+(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2

(x1-a){(x-x1)+(x1-a)}+(y1-b){(y-y1)+(y1-b)}=r^2

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2

「(1)は(1)+(2)、」

この最初の「(1)は」は「(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2」を指そうとした誤記でしょう



http://q.hatena.ne.jp/answer

◎質問者からの返答

早速の回答をありがとうございます。

ただ、『(1)は・・』は誤記ではないと思うのです。

仮に誤記ならば、その後の『同値』という表現がおかしいです。

また、(1)+(2)が証明すべき式と等しくなっても、それだけでは

証明にならないと思うのです。


2 ● acchie
●17ポイント

何となく日本語の表現の問題のような気もしますが。

まず、証明したい式を(Q)とします。

問題文の繰返しになりますが Bを通ってABに直行する直線(1)と、Bが円周上の点であるため成立する条件(2)があります。

さて、手材としてある(1)(2)の2つを使って証明したい式(Q)を組み立てることができれば、(Q)が成立すると言えます。

証明自体は既に回答がありますので省略しますが、元々の問題ではこの証明を『(2)のもとで、(1)は(1)+(2)と同値である』と表現しています。

確かに問題文が少々不親切だとは思いますが、これは『(1)と(2)を操作したら(Q)になったよ、そしてそれは(1)+(2)で計算できるよ(=同値)』という風に解釈できると思いますが。

(投稿後にURLが必要だと言われたので、この質問のURLを貼ってきます)

http://q.hatena.ne.jp/1206855629


3 ● 伊田匡嗣
●17ポイント

(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0・・・(1)

(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2・・・(2)

(2)の下で(x1,y1が(2)を満たしているとき)、(1)⇔(3)を示せば良いのですよね?

以下、式変形はすべて同値な式変形をします。

(1):(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0

(x1)x-(x1)^2-ax+a(x1)+(y1)y-(y1)^2-by-by1=0 //展開

(x1)x-a(x1)-ax+a^2+(y1)y-b(y1)-by-b^2=r^2

(3):-(x1)a+a^2-(y1)b-b^2-ax-by=0

ですので(1)⇔(3)が(2)を条件として成立します。

---

(1)⇔(3)で、証明になります。というのは、(1)は接線の方程式そのものだから、です。(1)と(3)が同じ、かつ、(1)は接線の方程式、なら、(3)は接線の方程式ですよね。

http://q.hatena.ne.jp/

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

ただ、(3)の式が、自分には唐突過ぎて、よくわかりません。

(3)は、どこから得られる式なのですか?


4 ● garyo
●17ポイント

>ただ、(3)の式が、自分には唐突過ぎて、よくわかりません。

>(3)は、どこから得られる式なのですか?

原点を中心とする円の接線の公式というのがあり

円 x^2+y^2=r^2 上の点(x0,y0) における接線の方程式は

?0・?+Y0・Y=r^2

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kiso075-3.htm

これを円の中心A(a,b)にあわせてx方向にa,y方向にb移動して

(?0ーa)・(?ーa)+(Y0ーb)・(Yーb)=r^2

これが問題文の以下の式です。

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2 ...(A)

私が証明するのであれば、

1)(A)式がB点を通ること

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2 でx=x1,y=y1を代入し

(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2 Bは円上の点なのでこれを満たす。

2)直線ABと(A)が直交すること

(A)の傾きが-(x1-a)/(y1-b)

直線ABの傾きが(y1-b)/(x1-a)

掛け合わせて-(x1-a)/(y1-b)*(y1-b)/(x1-a)=-1

よって直交している

ゆえに(A)は円の接線


5 ● yuki333zityo
●18ポイント

http://q.hatena.ne.jp/1206855629

えっと、(1)と(2)が成り立つ理由っていうのはOKなんですよね。

では、少し簡単な例を出してみます。

x-2=y-2

こんな式があったとします。これの表す式は「y=x」と同じだってことはわかりますよね。両辺に2を足しただけです。このように、等式の両辺に同じものを足しても、その式の表すものは変わりません。方程式の理論ですね。

では今回の場合です。

(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0

の両辺にr^2を足してみます。

(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)+r^2=r^2

ここで、(2)に出てくるrとx1、y1は(1)と同じものなので、(2)の式をそのまま(1)に通用させることができます。

よって、(1-a)^2+(y1-b)^2=r^2を、(1)の左辺のr^2に代入すれば、(1)+(2)という形になるのですが、どうでしょうか・・・。連立方程式の加減法の理論ですね。

※最初に間違えてコメント欄に同じ事を書いてしまったので、気にしないでください。

◎質問者からの返答

もし、回答の通りだとすると、その後の『(2)のもとで・・』という断りが不要に

なってしまいます。また、そもそも〈たす〉の思考的根拠というか、理由付けがありません。

そういうのを許すと、思考しない同値変形が無限にできることになって、数学的思考法の意味が

なくなっていくような気がするのです。


1-5件表示/7件
4.前の5件|次5件6.
関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ