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以下、n,n+1は小さい文字としてお読みください。
<解説文>
漸化式; xn+1=axn+byn, yn+1=cxn+dyn (n=0,1,2,...) ・・・?
を考える。行列とベクトルを用いて
A=(a b c d)(正方行列のつもりです), un=(xn,yn)(以下、uはベクトルです)
とおくと、?は
un+1=Aun (n=0,1,2...)
と書ける。よって、一般項unは
un=A^nu0 (n=1,2...)(0は小さい文字のつもりです)・・・(ア)
と表せる。
したがって、行列Aのn乗を計算すれば、?の解が得られる。・・・(イ)
<質問>
(ア)前式からの変形の過程がわかりません。なぜn乗になるのか、なぜ0になってしまうかなど。
教えてください。
(イ)どのように解が得られるのか教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AUN AXN UN ベクトル 行列
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● garyo
●10ポイント

xn+1 a b xn axn+byn

( )=( )( )=( ) より

yn+1 c d yn cxn+dyn

xn+1=axn+byn, yn+1=cxn+dyn ですね。

xn

un=( ) と置くと

yn

xn+1 a b xn

( )=( )( ) より

yn+1 c d yn

un+1 = Aunですね。

よって

un=Aun-1=A^2un-2=...=A^(n-1)u1=A^nu0です。

Anはケーリー・ハミルトンの定理で出すことができます。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul2.html

◎質問者からの返答

表示されていない箇所が多いようです。教えてください。


2 ● tera-p
●60ポイント

(ア)について:

un+1 = Aun ですので,n=0 の場合,

u1 = Au0

になります.

同様に,n=1 の場合は,

u2 = Au1

になります.ここで,u1=Au0 ですから,

u2 = Au1 = A(Au0) = A^2u0

になります.

u3, u4, ... の場合も同様に,

u3 = Au2 = A^3u0

u4 = Au3 = A^4u0

となっていきます.

(イ)については,単に行列の n 乗を計算してベクトル u0 と掛け算するだけですが…

ちなみに,A^2=(a+d)A?(ad-bc)E が成立します(ケーリー・ハミルトンの定理)ので,これを使うと計算が楽できます.

◎質問者からの返答

たいへんによくわかりました。ありがとうございます。

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