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任意の有限数列が、πを小数展開した時に、現れるかどうかを判定、あるいは、証明する事は出来ますか。
または、πを展開した数列には、決して現れない有限の長さの数列を構成できますか(または存在を証明できますか)?
錯誤や思いっ切り間違った答えは、ご遠慮願いたいのですが、ある程度の段階のアイデアは歓迎します。

●質問者: hengsu
●カテゴリ:コンピュータ 科学・統計資料
✍キーワード:アイデア 存在 小数 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● quintia
●13ポイント

日本評論社数学セミナー2007年7月号

http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss0707.htm

の「サイエンスライブショー/Sound of Science 驚異の数π」という記事の最後の方に、「πが任意の有限数列を含む数であるという可能性がでてきた」という旨の記載がありました。

図書館で蔵書しているところは探してご覧ください。


半年以上経っているのでそこから進展しているのか分かりませんが、現代でもその命題は数学の最先端のようなので、ここの回答欄ではとても解説できるものではないと思います。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

http://q.hatena.ne.jp/1045234404

で未解決らしかったのをさっき見つけました。

実は、似たような発想ですが、確率論(というか、チャイティンのアルゴリズム的情報論かな。ボレルか!)から考えると、そういう確率がゼロとすると、矛盾すると思うので、気になってます。

もう少し待ってます。


2 ● ken33jp
●26ポイント

2進数で考えてください。

◎質問者からの返答

与えられた任意の有限数列が含まれるかどうか、2進数展開なら、01の任意のパターンが現れるかどうかなので、全く自明ではありません。残念。


3 ● yamadakouzi
●26ポイント

まだ未解決なようで、簡単ではないと思いますが、「背理法」を使って証明する手があります。

?「任意の有限数列が、πを小数展開した時に、現れない」と仮定とすれば矛盾が起これば・・・現れる事の証明になるし、?「πを展開した数列には、決して現れない有限の長さの数列を構成できない」と仮定すれば矛盾が起これば・・・構成できる証明が出来たことになります。

また元の命題のどちらか一方が証明できれば他方は否定された事になりますね。

◎質問者からの返答

そうなんですが。1の背理が違ってませんか。決してπの少数展開に現れない有限数列があると仮定では?というか、回答1へのコメントと同値ですね。


4 ● ita
●25ポイント

逆に、ある実数rについて、絶対でてこない並びの集合についてその桁数の最小値をN(r)とかおくと、

これが計算の複雑さと結び付いてる気がします。前のn桁の値を見れば次の桁が計算できる、

というような数の場合は N(r)=10^n になりそうです。それでパターンが尽きちゃうんで。

πの場合かりにN(π)≠∞だった場合、N(π)はなにか重大な意味を持ちそうです。

チャイティン読んでみます。

◎質問者からの返答

こういう発想を待ってました。なにげに、チャイティンのΩに近い定義です、それ。

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