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パズルに挑戦 No.2

以下のパズルを解けた人、どのように解いたかを 教えてください。

★★★魔方陣パズル★★★

数字は 1から25まですべて使い 縦、横の合計が それぞれ65になればいいです。
(すべて使うので重複することはありません)
斜めは 関係ありません。
空いてる箇所にいくつの数字が入るかをといて、そのときかたを 教えてください。
どのようにして といたのかが重要です。プログラムなどはナシです。

画像のほうを 参考にして 下のは 回答用に使ってください。
(空いてる箇所は、アルファベットを入れてありますので、回答に使ってください)

なお、回答の文字数が 足りなければ コメントを使ってもいいです。


10_ a_ 9_ b_ c
d_13_ e_24_ f
11_ g_25_ h_21
i_17_ j_ 2_ k
14_ m_12_ n_ p

1209637493
●拡大する


●質問者: きゃづみぃ
●カテゴリ:ゲーム
✍キーワード:アルファベット コメント パズル プログラム 数字
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 8/8件

▽最新の回答へ

1 ● くまいみずき
●25ポイント

答えとしては


a : 8

b : 20

c : 18

d : 7

e : 15

f : 6

g : 5

h : 3

i : 23

j : 4

k : 19

m : 22

n : 16

p : 1


です。




調べ方は、まず横の3列目に注目しました。


f:id:kumaimizuki:20080501213736j:image



ここの数字は、表示されている時点で合計が57になっています。

つまり、残りは8です。

残りの数字のうち、8になる組み合わせは『1と7』か『3と5』のどちらかのみです。

ここで注目するのは、縦の左側の列です。

ここの合計は、35なので残りは30となります。

30になる組み合わせは、『7と23』か『8と22』のどちらかです。

仮に、横の3列目が『1と7』だった場合、縦の一番左側の列は、『8と22』しかなくなります。

ところが、『8と22』をdとiのどちらに入れても、すべて65にすることは出来ません。

数字を埋めているうちに、必ず成り立たない組み合わせのみが残ってしまいます。

この時点で、横の3列目は『3と5』が確定します。

あとは、gとhのどちらが3で、どちらが5になるかを考えます。

同じように調べていくと、gが3というパターンでは成り立たなくなります。

結果、gが5で、hが3ということが確定します。

この時点で、左2列が残り30となります。

30の組み合わせは『7と23』か『8と22』ですので、どちらかが前者、どちらかが後者となります。

これはここでひとまず置いておきます。


f:id:kumaimizuki:20080501213737j:image



次に確定させたのは、縦の右から2列目です。

ここの残りは残りは36となります。

しかし、22と23は左の列で確実に使うのではずすと、『20と6』の組み合わせのみしか考えられません。

bに6を入れてしまうと、一番上の横の列まで、残りが30になってしまうため、これでは完成できません。

この結果、bが20で、nが16となります。


f:id:kumaimizuki:20080501213738j:image



今度は、一番下の横列を見ます。

この時点で残りは23ですが、片方が『7と23』か『8と22』の入る30の列と被るため、どうしても『8と22』のどちらかが入ることになります。

つまり、一番左の列が『7と23』、左から2列目が『8と22』の入る列となります。

もし、dに23を入れてしまうと、下から2列目が残り39となります。

この時点で、39にする組み合わせは出来ないため、dが7で、iが23となります。


f:id:kumaimizuki:20080501213739j:image



次に中央の縦列を見ます。

ここの残りは19ですので、『1と18』か『4と15』のみの組み合わせとなります。

注目はjの枠です。

ここに、1を入れると下から2番目の残りは22。

4を入れると下から2番目の残りは19。

15を入れると下から2番目の残りは8。

18を入れると下から2番目の残りは5。

この4種類のうち、22と8は別のところで使うために可能性は否定できます。

さらに、5は既に確定しているので、残りの4がjに入ります。

必然的に、eが15、kが19となります。

そして、fが6と自動的に決まります。


f:id:kumaimizuki:20080501213740j:image



残った数字は、1と8と18と22の4つです。

左から2列目は、『8と22』。

一番上の列は、『8と18』。

という組み合わせしか考えられないため、aが8でcが18。

さらに自動でmが22、pが1となり、升目がすべて埋まり、縦横の合計が65となりました。


f:id:kumaimizuki:20080501213741j:image




とまぁ、半分後付な理由だったりしますが。

途中まで調べて、あとはしらみつぶしに数字を埋めていったら、偶然にも最後のようなパターンを見つけた。というだけだったり(^?^;

いちおー、理論付けてみましたけどどうでしょうか?



ちなみに、Excelを使って解いてみました。

関数は合計の関数と差分を求める計算式のみです(笑)

◎質問者からの返答

しらみつぶしというパターンが多いみたいですね。


2 ● souju
●10ポイント

まず

a+b+c=46

d+e+f=28

g+h=8

i+j+k=46

m+n+p=39 167


d+i=30

a+g+m=35

e+j=19

b+h+n=39

c+f+k+p=44 167



これを機械的に解くのは,12個の変数に10個の式なのでちょっと困難。

#a~pまでを全て足した数は独立した条件とはならない。

1?25の整数を1回のみ使うという制約をフルに活用する。



g+h=8となるg,hの組み合わせは,

(g,h)=(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)の4とおり。

(2は使えないし,4+4は駄目)

次に既に埋まっている数字を利用すると,2つの数字を足して32にしてはならないという条件が導かれる。

( (7,25),(8,24),(9,23),(10,22),(11,21),(12,20),(13,19),(14,18),(15,17),(16,16)のいずれも許されない。)

そうすると,3つの数字の和の式においてタブーとなる数字が出てくる。

m,n,pのいずれも7であってはならない。

a,g,mのいずれも3であってはならない。

b,h,nのいずれも7であってはならない。

なお,他の数式については新たな制約とはならない(a,b,cは14とはならないというのは,14が盤面に使われている以上意味なし)。



そうすると

(g,h)=(5,3),(7,1)の2とおりに限定される。



次に

(d,i)=(7,23),(8,22),(22,8),(23,7)の4とおり。

この二つを適当に仮定してやると,

8つの変数に,8つの条件式。解けるはず。

しかしここでは魔法陣の性質を活かしつつ,計算を省力化していく。



(g,h,d,i)=(5,3,7,23)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=21

j+k=23

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44



(e,f)=(1,20),(6,15),(15,6),(20,1)

(j,k)=(1,22),(4,19),(8,15),(15,8),(19,4),(22,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

a,mのどちらかで8,22の両方を使わなければならないことに着目すると,

(j,k)=(4,19),(19,4)

これとe,jの制約条件をかみ合わせると

(e,j,k)=(15,4,19)

しかし,これはe,jの制約条件と矛盾



(g,h,d,i)=(5,3,8,22)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44



(e,f)=(1,19),(4,16),(16,4),(19,1)

(j,k)=(1,23),(4,20),(6,18),(18,6),(20,4),(23,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)



これらの制約条件を満たすのは,(e,f,j,k)=(1,19,18,6)しかあり得ない。

(a,b,m,n)=(8,16,22,20),(8,20,22,16),(22,16,8,20),(22,20,8,16)

そのときc,pは上記の順で(c,p)=(22,-3)(18,1)(8,11)(4,15)

であるが他の数字との重複を除くと(c,p)=(4,15)しかない。



そうすると,

(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,m,n,p)=(22,20,4,8,1,19,5,3,22,18,6,8,16,15)

が制約条件を満たす。

#ただし,これが唯一解であるかは保証されていない。

#さらなる計算が必要である。



魔法陣の形で記載すると下のとおり。

10_22_ 9_20_ 4

8_13_ 1_24_19

11_ 5_25_ 3_21

22_17_18_ 2_ 6

14_ 8_12_16_15

◎質問者からの返答

最初の数式を 少し計算させて減らせないでしょうか?


3 ● blanketsky
●15ポイント

使われていない数字の集合を

S1 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23}

とします。


3行目に注目すると g + h = 8

S1の中で足して8になるペアは {1,7} と {3,5} だけです。

つまり (g,h) = (1,7) or (7,1) or (3,5) or (5,3) となります。


しかしS1の中で足して32になるペアが無いため

h=7 の場合は4列目を満たす(b,n)が存在せず、

g=3 の場合は2列目を満たす(a,m)が存在しません。

よって、(g,h) = (7,1) or (5,3) に絞られます。


□ (g,h) = (5,3) と仮定してみます。(こちらの方が (a,m),(b,n) の候補が少なくなるので )

するとS1の中で4列目 b + n = 36 を満たす解 (b,n) = (16,20) or (20,16) が決まりますが

b=16 の場合、a + c = a + m = 30 かつ c ≠ m となり不適格。

よって

□ (b,n) = (20,16)


この時点でまだ使われていない数字の集合を

S2 = {1, 4, 6, 7, 8, 15, 18, 19, 22, 23}

とします。この中で 2列目、1行目、5行目を同時に満たす組み合わせを列挙すると

(a,m) = (8,22) , (c,p) = (18,1)

or

(a,m) = (22,8) , (c,p) = (4,15)

のどちらかしかありません。


どちらにせよ c + p = 19 (ゆえに f + k = 25) が成り立ちます。

また、どちらにせよ a と m で 8 と 22 が使われるので

S3 = S2 - {8,22} = {1, 4, 6, 7, 15, 18, 19, 23}

とします。


ここで残りの変数 d,e,f,i,j,k について考えます。

分かっている方程式は


S3 の中で (1) を満たすペアは {7,23} しか無いので (d,i) = (7,23) or (23,7)

S4 = S3-{7,23} の中で(3)を満たすペアは {6,19} しか無いので (f,k) = (6,19) or (19,6)


(4),(5)を使って

(28-e, 46-j) = (d+f, i+k) = (7+6, 23+19) or (23+19, 7+6) or (7+19, 23+6) or (23+6, 7+19)

すなわち

(e,j) = (15,4) or (-14, 33) or (2, 17) or (-1, 20)


このうち、S4-{6,19} の中に含まれるのは

□ (e,j) = (15,4)

のみです。


あとは手順を逆に辿って、

□ (d,i) = (7,23)

□ (f,k) = (6,19)

□ (c,p) = (18,1)

□ (a,m) = (8,22)

を得ます。


(g,h) = (7,1) のケースをまだ考えていませんが、

とりあえずこんな感じで一つ解が見つかりました。

◎質問者からの返答

一応、すべてのパターンを 考慮したほうがいいですよね。


4 ● dungeon-master
●40ポイント ベストアンサー

まず、数字が3個入っている行/列について調べてみると、

d,i=残り合計→(8,22)か(7,23)の組み合わせ:4通り

e,j=残り合計19→(1,18)か(3,16)か(4,15)の組み合わせ:8通り

g,h=残り合計8→(5,3)か(1,7)の組み合わせ:4通り


このままだと4*4*8の128通りということになって面倒なのでスクリーニングします。

g,hに(1,7)を使うとe,jの(1,18)とd,iの(7,23)が使えず、

g,hに(5,3)を使うとe,jの(3,16)が使えません。

d=22についてeの値を考えて見ると、

eに18,16,15を入れた場合は行の合計が65を超えるので使えません。

1を入れるとf=5となり、g,hの(3,5)が使えなくなります。

3を入れるとf=3で自滅。4を入れると仕様済みの2がfに出るのでだめ。

ということで、d=22はなくなります。


以上の考慮で32通りまで絞れたので、とりあえず表を起こして見ます。

d i g h e j
8 22 1 7 3 16
8 22 1 7 16 3
8 22 1 7 4 15
8 22 1 7 15 4
8 22 7 1 3 16
8 22 7 1 16 3
8 22 7 1 4 15
8 22 7 1 15 4
8 22 3 5 1 18
8 22 3 5 18 1
8 22 3 5 4 15
8 22 3 5 15 4
8 22 5 3 1 18
8 22 5 3 18 1
8 22 5 3 4 15
8 22 5 3 15 4
7 23 3 5 1 18
7 23 3 5 18 1
7 23 3 5 4 15
7 23 3 5 15 4
7 23 5 3 1 18
7 23 5 3 18 1
7 23 5 3 4 15
7 23 5 3 15 4
23 7 3 5 1 18
23 7 3 5 18 1
23 7 3 5 4 15
23 7 3 5 15 4
23 7 5 3 1 18
23 7 5 3 18 1
23 7 5 3 4 15
23 7 5 3 15 4

引き続き、dとeのとり方を見てみます。

d=23では、eに18,15を入れられません(行の合計が65を超える)。

d=23のときi=7ですが、このときjに18,15のどちらが入っても、既に

使っている数字がkに出てくるので使えません。

d=23も消えます。


次にd=8について。

e=4と入れるとk=9でNG。3もしくは16と入れると、k=21か8でこれもNG。

e=15は、f=5になるので、g,hに(3,5)が使えなくなります。


d=7について。

e=4は、f=17で使用済みのためNG。

e=18だとf=3、e=1だとk=5となり、g,hに(3,5)が使えなくなります。


ここまでくると組み合わせはかなり減ります。

d/i/g/h/e/j=

8/22/1/7/15/4,8/22/7/1/15/4,

8/22/3/5/1/18,8/22/3/5/18/1,8/22/5/3/1/18,8/22/5/3/18/1,

7/23/3/5/15/4,7/23/5/3/15/4

の8通りとなりました。

これらの数字の組み合わせとfkを確定させ、a,lとb,mとc,nに数字がはいるか見てみます。

8/22/1/7/15/4→b+m=32になる組み合わせがとれません。

8/22/7/1/15/4→a+l=28,b+m=38になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/1/18→a+l=32,b+m=34になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/18/1→a+l=32になる組み合わせがとれません。

8/22/5/3/1/18→正解候補1、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15) abc合計39、lmn合計46

8/22/5/3/18/1→a+l=30になる組み合わせがとれません。

7/23/3/5/15/4→a+l=32になる組み合わせがとれません。

7/23/5/3/15/4→正解候補2、a,l=(8,22) b,m=(16,20) c,n=(1,18) abc合計46、lmn合計39

候補が2通りになりました。

正解候補1は、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15)をどうとっても、横計が成立しません。

正解候補2は、a+b+c=8+20+18=46,l+m+n=22+16+1=39で成立。


というわけで、正解は

10 8 9 20 18
7 13 15 24 6
11 5 25 3 21
23 17 4 2 19
14 22 12 16 1
◎質問者からの返答

32パターンに絞り込んでの検証ですね。

OKです。


5 ● souju
●20ポイント

先ほどの回答で唯一解であることを示していなかったのでこの点について補足を行う。



先の解答では

(g,h,d,i)=(5,3,7,23),(5,3,8,22)について検討を加えたので,

ここでは,

(g,h,d,i)=(5,3,22,8),(5,3,23,7),(7,1,8,22),(7,1,22,8)を順次検討する。

#h=1のときは,d,iに1を使えないことに留意。



(g,h,d,i)=(5,3,22,8)を検討

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

このときは,2,5が使用済みのためe,fの適当な組み合わせが存在しない。



(g,h,d,i)=(5,3,23,7)を検討

a+b+c=46

e+f=5

j+k=39

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

(e,f)=(1,4),(4,1)

(j,k)=(16,23),(19,20),(20,19),(23,16)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

b,nの組み合わせで16,20の両方を使わなければならないが,そうするとj,kの制約条件を満たせなくなる。



次に,(g,h)=(7,1)の場合を考える。

このとき(d,i)=(8,22),(22,8) (7を2回使えない。)

(d,i)=(8,22)を検討



a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

(e,f)=(4,16),(5,15),(15,5),(16,4)

(j,k)=(4,20),(5,19),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(19,5),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)



a,mの組み合わせで5と23を使ってしまうことを考慮に入れると,

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(4,20),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

e,fの組み合わせで4,16を使ってしまうことを考慮に入れると,

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(6,18),(8,16),(16,8),(18,6)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

(e,j),(j,k)の組み合わせを見たそうとすると,(e,j,k)=(3,16,8)しかないが,

これはe,fの制約条件に反する。



最後に(d,i)=(22,8)を検討する。

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

しかし,1,2は使用済みなのでe+f=6の制約条件を満たし得ない。

よって,先に回答したものが唯一解であることが示された。



#結局力技です。

#なお,先ほどの解答で167と書いてあるのは検算の名残なので無視してください。

◎質問者からの返答

別解のチェックは、最初に解いたときの検証となります。

なので、重要ですよね。


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