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「log(x^2-2x)=log(3x-4)(底は2です)を満たすxの値を求めよ」という問題で、真数条件として、x^2-2x>0かつ3x-4>0を考える代わりに、x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいいと一瞬で見抜くための着眼点を教えてください。手元の参考書では、類題として、log(x+2)+log(x-5)=3(底は2です)やlog(6-x)+2logx=0(第1項の底は1/3,第2項の底は3です)なども同様の解き方がされています。よろしくお願いします。


●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:参考書 着眼点
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● pyopyopyo
●18ポイント

「3x-4>0 だけでもいい」というのは間違いだと思います。

たとえば 3x-4>0 を満たすような x として 5/3 を仮定すると、 (5/3)^2 - 2(5/3) は 負の値になり、 x^2-2x>0 を満たしません。

ですので、両者を同時に満たす条件は x>2 だと思います。


2 ● juic
●40ポイント

このような解説は私は見たことがなく、はっきりとは理解しかねますが、多分に推測を含めつつ答えます。


log(x^2-2x)=log(3x-4) ……?

?についてはlogを消去して、x^2-2x=3x-4……?’ ∴x=1,4 この2解について真数条件を満たすかどうかチェックする、という解答でしょう。


ここでx=1,4 は?’の解ですから、?’に代入したとき(左辺)=(右辺)となります。つまり、x^2-2x と 3x-4 の値は等しいということです。ですからこの値(1と4)については x^2-2x>0 ⇔ 3x-4>0 と考えてもよいこととなるので、初めから一方(簡単な方の3x-4>0)のみで判断できるということだと思います。


ところがこの考え方だと、

log(x+2)+log(x-5)=3……?

log(6-x)+2logx=0……?


には適用できないことになります。ひょっとしたら?、?は、真数条件の不等式が容易なので省略したのではないでしょうか。

(例えば?では、真数条件より〈x+2>0 かつ x-5>0、ゆえに〉x>5

〈 〉内が省略された)


私個人的には、 x^2-2x>0 と 3x-4>0 の両方を計算した方が確実かと思います。慣れれば時間も大してかかりませんので、センター試験などであっても、練習しておけば問題ないでしょう。

◎質問者からの返答

回答、ありがとうございます。

お話のように両方を計算するのが確実かもしれません。

ただ、ちょっと気持ちが悪いというのがあります。乗り掛かった船で、

コメント欄に類題の解答例としてあるものを書き込みます。

よろしければ、また回答をください。お願いします。


3 ● t_shiono
●20ポイント

よこから失礼します。

正確な問題や類題の解答が分かっていないので、はずしているかもしれませんが、類題の2番目も同じじゃないでしょうか?

類題の2番目を整理すると、

log(6-x) = log(x^2) (式1) ※底はともに3

となり、

6-x = x^2

ですよね?

このときに、6-x > 0ならば、当然 x^2 > 0ですよね。

本題からはずれましたが、一般的には次数が低い条件式を選べばよいです(計算しやすい方でOK)。

真数条件は、f(x) > 0という形で出てきます。

グラフをイメージしてもらうと分かりやすいと思いますが、f(x)の次数が大きい方がf(x) > 0を満たすxの領域の箇所が増えていきます。

n次の式f(x)が与えられたとした場合に、f(x)>0となるxの領域は*最大*でn個あります。


さて、対数の等式から得られた方程式の解に特化して考えると、

真数条件から

f(x) > 0

g(x) > 0

という2つの不等式と、

f(x) = g(x)

という1つの等式が得られます。

2つの不等式を満たすxの領域といわれると、厳密に解いて判断するしかありません。

しかし、等式の解を求める際に利用する条件という意味では、xの範囲を厳密に求める必要はありません。

f(x) = g(x)の等式がn次だったとして、解がa1・・・anが求まったとします。

このうち、

f(x) > 0 かつ g(x) > 0となるakが答えとなるわけです。

ところが、「f(x) > 0」すら満たせないakは「f(x) > 0 かつ g(x) > 0」の不等式は絶対に満たせません。

そのため、解答では確かめることが容易な次数の低い方を用いているに過ぎません。

質問者さんが納得する解答としては、(f(x)が次数の低い方として)

f(x) = g(x)より、a1・・・anが解の候補である。

真数条件より、f(x)を満たすものは、akのみである。

また、x=akのとき、g(x)>0を満たす。

よって、x = ak

と解答が書いてあれば、質問者さんは素直に納得できたのではないでしょうか?

おそらく、質問者さんは、

「x^2-2x>0かつ3x-4>0を考える代わりに、x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいい」

という表現を、

「3x-4>0の方がx^2-2x>0よりも強力だ」

という解釈をされてしまったのだと思いますが、そうではなくて、どちらでもよいので、簡単な方を選びました。というのが実情です。

強力かどうかという点では、

例えば、log((x-1)^2 - 1) = log(x) ※底は同じ

なんかを考えてもらえばよいですが、x > 0よりも、(x-1)^2-1 > 0の方が強力です。

ですが、x > 0という条件で判別しても解は1つに定まり、かつ、指定した条件下では、(x-1)^2-1 = x > 0が成立します。


4 ● yuki333zityo
●80ポイント ベストアンサー

確かに、x^2-2x=3x-4のもとでは、3x-4>0だけを考えれば良いというのはあっています。ただし、これは真数条件ではありません。真数条件を考えるのなら、x^2-2x>0も考慮しなくてはなりません。理由は1番の人が書かれたとおりです。

類題2に関しても同じで、式を変形していくと「6-x=1/x^2」と出てきます。だからといって「1/x^2>0」だけでは真数条件にはなりません。「6-x>0」という条件とあわせて、初めて完全な真数条件が完成します。

しかし、今回のように真数条件を考えずに解答をする場合、つまりx^2-2x=3x-4のように、A=Bと定まっている場合、左辺(または右辺)>0を考えるだけでよいのです。なぜかというと、「x^2-2x=3x-4」かつ「3x-4>0」を満たしておきながら、「x^2-2x<0」となるようなxは存在しないからです。A=BでB>0なら、A<0になるわけがない、ということです。

では類題2を見てみましょう。式変形をして、「6-x=1/x^2」となったとき、1/x^2>0のみを考えればよいのです。それでは「6?x>0」を満たさないxもOKということになってしまうではないか、と思いますが、6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=1/x^2」の解にはなりません。だから1/x^2>0のみ考えればよいのです。

まとめると、真数条件を考える場合、左辺>0かつ右辺>0を考えなければいけません。しかし、ただ単に出た解が、(両辺の真数)>0を満たすかどうかを調べるには、(左辺or右辺)>0一つだけを調べればいいということです。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

お話のように『6-x>0を満たさないxもOKということになってしまうではないか』と迷い、

『6-x>0を満たさないxは、もともと「6-x=x^2」の解にはならない』に行き着くまえにこんがら

がってしまっていました。それで、この解法のどこが能率的なのかと悩んでいました。

目線を低くして説明をくださったので、すごく理解が進みました。


5 ● bluepanda
●17ポイント

参考書の書き方が悪いのかな、と少し考えてしまいます。

ただ単にそのようなご質問であれば、類題を見るまでもなく、ごく単純な問題ですので、こう答えます。

「x^2-2x=3x-4のもとでは3x-4>0だけでもいい。ということは、ようするに、x^2-2xも3x-4も同じ数なのだから、当然x^2-2x=>0だ。」一瞬で見抜けますよね。ただ単に、それだけです。ただ、これだと、「x^2-2x>0」でもいいのですが、その参考書を書いた方が、より単純な式のほう、つまり3x-4のほうを引き合いに出して説明しただけの話ではないかと思います。

1の方がおっしゃっておられるのは、「x^2-2x=3x-4」が成り立つための条件のことです。

参考書がややこしいのか、もしかしたら別のことをお尋ねになりたいのか……失礼ですが、少しご質問がわかりづらいです。


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