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4次元超球から7次元超球の{体積=V}と{表面積=S}を考えてください。(体積と表面積と言う言い方は既に意味を成さなくなっていますが、例えば4次元超球ならば{V}{S}はそれぞれ長さの4乗、3乗のディメンションを持っています)・・・あくまで、遊びの範囲の問題ですので、専門家、セミプロの方は回答をご遠慮ください。また、専門家の解説のURLの参照の貼り付けもお断りします。回答者自身の考え・言葉でお願いいたします。
因みに、半径をrとした時
2次元=円 の時、V=π*(r^2), S=2*π*r
3次元=球 の時 V=4/3*π*(r^3),S=4*π*(r^2)と言う事で。
(累乗の表現は自由とします r*rでも r**2でもr^2でも)
***必ずしも正解を求めている質問ではありません。・・・遊び感覚でどうぞ!

●質問者: yamadakouzi
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:2次元 3次元 4/3 4次元 セミプロ
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● Sampo
●100ポイント

「考えてください」とのことだったので、求める方法までは考えてみたものの算出はできませんでした。

その方法だけご説明します。

超球は、次元軸のうちひとつに平行な超面でスライスしていけば、その次元における超円を重ねたものになります。

(=球は、z軸に平行な面でスライスしていけば、円を重ねたものになります)

そこで、超球の体積は超円の面積を積分したものといえます。

3次元で(球と円で)検証してみましょう。

V(r) = 2∫[0,r] π(√r^2-x^2)^2 dx

= 2∫[0,r] π(r^2-x^2) dx

= 4π/3・r^3

ちゃんと出ました。

さて、n次元の超円はn-1次元の超球であり、n次元の超円の面積はn-1次元の超球の体積と言えます(問題の定義からこう解釈してしまっていいのでしょう、きっと)。

すると、n次元の超球の体積をV_n(r)と書くなら

V_n(r) = ∫[0,r] V_n-1(√r^2-x^2) dx

と漸化式が書けます。

さて、この漸化式を使って4次元超球から順に求めていこうとすると、

V_4(r) = 2∫[0,r] V_3(√r^2-x^2) dx

= 2∫[0,r] 4π/3(√r^2-x^2)^3 dx

あ、積分記号の中にルートが残ったままになってしまった……

教養課程以来微積なんてやってない僕には、もうこの式を積分する力は残っていません……

ちなみに、S_n(r) を求めるのは V_n(r)をrで積分するだけです。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。かなり程度の高い答えになっていますね。微積分の考えがでてきて。最後(終了後)に解答をコメントで出すつもりですが、馬鹿にするなと怒らないでください。(大体、超球なんて言い方・イメージが分りにくいのかもしれませんが)

問題は円の面積(πr^2)・周長(2πr)と球の体積(4/3πr^3)・表面積(4πr^2)を習った生徒(おそらく中学生)が4次元、5次元の(超)球の体積や表面積(と言っても既に長さの3乗や2乗ではないけれど)を2次・3次からどのように思考を拡張して正確な答えにたどり着くか、と言う事です。4次・5次は問題、6次・7次は本当に理解できているかのチェックです。・・・・・・計算自体は中学生でもできます。

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