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質問No1211212536のやり直しみたいで恐縮ですが。
高次元の超球(0次元から上を含む)の「超表面積」及び「超体積」の値の求め方及びその値を数学的に論理立て、分りやすく教えてください。単にURLを貼り付けるだけでなく、回答者自身の理解した説明があれば幸いです。(できるだけ平易に)
何次元でも結構ですが3次元で止めない様お願いいたします。

●質問者: yamadakouzi
●カテゴリ:科学・統計資料
✍キーワード:3次元 回答者 数学 次元 論理
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● dungeon-master
●60ポイント

2次元球がx^2+y^2≦r^2、3次元球がx^2+y^2+z^2≦r^2、のようにあらわされる領域であることを考えると、

1次元の球は、x^2≦r^2ということで、1次元直線上にある-x?xの2rの領域ということになるでしょう。

同様に、4次元球がx^2+y^2+z^2+w^2≦r^2 となります。


ガウス積分とかやると一発なんですが、

http://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/highsphere/...

そのような回答は求められていないようですし、漸化式を出してこうだといっても埒が明きませんので、

こつこつ順に積分してVを求めていくことにします。

できるだけ平易にと言うことですが、置換積分と三角関数の知識が必要になってしまいました。

※途中の計算に間違いがあるかもしれません。式の書き方も結構適当です。


0次元:

単位を示せない(最初に書いた球の定義として、左辺が書けない)ので飛ばします


1次元:

x^2=r^2 → x=±rということで、-r?rの領域、Vは2r。


2次元:

y^2+x^2≦r^2 より y=±√(r^2-x^2)

xが0?rで変化する場合、yの幅(つまり2r)は0?2√(r^2-x^2)のように変化。

これを積み上げたものが面積(半円)になる。→積分します。

V=2∫[0、r]2√(r^2-x^2)dx

このままだとちょっとつらいので置換積分。

x=r*sinθとおいて、x=0のときθ=0、x=rのときθ=π/2

dx=r*cosθdθってことになるので、dx/dθ=r*cosθとなり、

V=2*2∫[0、π/2]√(r^2-(r*sinθ)^2)*r*cosθdθ

=4∫[0、π/2]r^2*√(1-(sinθ)^2)*cosθdθ

sin^2 t + cos^2 t = 1 より 1-sin^2θ=cos^2θなので、

=4∫[0、π/2]r^2*√(cos^2θ)*cosθdθ

=4∫[0、π/2]r^2*cos^2θdθ

倍角の公式から

=4∫[0、π/2]r^2*1/2*(1+cos2θ)dθ

=2*r^2∫[0、π/2](1+cos2θ)dθ

=2*r^2(θ-1/2sin2θ)[0,π/2]

=2*r^2*π/2

=πr^2


以降も同様の考え方で、前の次元のVについてrを√(r^2-x^2)で置き換えて積分する方法を

繰り返していきます。


3次元、V=2*π∫[0、r](√(r^2-x^2))^2dx

xに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の円を想定し、それを積み上げることで体積を求めます。

V=2*π∫[0、r](r^2-x^2)dx

=2*π(r^2x-1/3x^3)[0、r]

=2*π(r^3-1/3*r^3)

=2*2/3*πr^3

=4/3πr^3。


一旦ここで整理してみると、各次元のVはVn=Kn*r^n の形で見ることができ、

n=1,2,3 に対して、Knは 2、π、4/3π となっています。


4次元:

xに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の球を想定し、それを積み上げることで超球のVを求めます。

K(3)=4/3πとすると、V=2*K(3)∫[0、r](√(r^2-x^2))^3dx

2次元のときと同様に x=r*sinθとおくと、x=0→θ=0、x=r→θ=π/2、

dx=r*cosθdθってことになるので、dx/dθ=r*cosθ

つまり、V=2*K∫[0、π/2](√(r^2-r^2*sin^2θ)^3*r*cosθdθ (Kの括弧は省略)

=2*K∫[0、π/2](r√(1-sin^2θ))^3*r*cosθdθ … 1-sin^2θ→Cos^2θをつかって

=2*Kr^4∫[0、π/2](√(cos^2θ))^3*cosθdθ

=2*Kr^4∫[0、π/2](cosθ)^3*cosθdθ

=2*Kr^4∫[0、π/2](cosθ)^4dθ この形が重要らしい

=2*Kr^4∫[0、π/2](cos^2θ)^2 dθ

=2*Kr^4∫[0、π/2](1/2*(1+cos(2θ))^2dθ 2倍角の公式を適用

=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ+1+cos^2(2θ))dθ)

=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ+1+(1-cos4θ)/2 )dθ)もう一度、2倍角の公式を適用

=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ+3/2-1/2cos4θ )dθ)

=2*Kr^4*1/4*(sin2θ+3/2θ-1/8sin4θ)[0,π/2] …sinの項は引数が0とπの整数倍なので、消える

=2*Kr^4*3/8*π/2

=Kr^4*3/8*π

=4/3*π*r^4*3/8*π

=1/2*π^2r^4


5次元。K(4)=1/2*π^2

V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^4dx

=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^2dx

=2*K∫[0、r](r^4-2r^2*x^2+x^4)dx

=2*K(r^4*x-2/3*r^2*x^3+1/5*x^5)[0、r]

=2*K(r^5-2/3*r^5+1/5*r^5)

=2*K*r^5*(15/15-10/15+3/15)

=2*K*r^5*8/15

=k*r^5*16/15

=1/2*π^2*r^5*16/15

=8/15*π^2*r^5


6次元。K(5)=8/15π^2

V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^5dx

x=r*sinθとおくと、x=0→θ=0、x=r→θ=π/2。dx=r*cosθdθなので、dx/dθ=r*cosθ

つまり、V=2*K∫[0、π/2](√(r^2-r^2*sin^2θ)^5*r*cosθdθ 整理して

=2*K*r^6∫[0、π/2](cosθ)^6 dθ

=2*K*r^6∫[0、π/2](cos^2θ)^3 dθ

=2*K*r^6∫[0、π/2](((1+cos(2θ))/2)^3dθ2倍角の公式を適用

=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+cos^3(2θ)+3cos^2(2θ)+3cos2θ) )展開

=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+ 1/4(cos6θ+3cos2θ)+3/2(1-cos4θ)+2cos(2θ)) 3倍角の公式を適用

=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+ 1/4cos6θ+1/12cos2θ+3/2-3/2*cos4θ+2*cos(2θ))

=2*K*r^6*1/8( θ+ 1/24sin6θ+3/8sin2θ+3/2θ-3/8*sin4θ+sin(2θ))[0、π/2]

=2*K*r^6*1/8( π/2*(1+3/2))

=K*r^6*5/16*π

=8/15*π^2* r^6 * 5/16*π

=1/6*π^3*r^6


7次元。K(6)=1/6π^3

V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^6dx

=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^3dx

=2*K∫[0、r](r^6-3r^4*x^2+3r^2*x^4-x^6)dx

=2*K(r^6*x-r^4*x^3+3/5*r^2*x^5-1/7*x^7)[0、r]

=2*K(r^7-r^7+3/5*r^7-1/7*r^7)

=K*r^7*(32/35)

=1/6*π^3*r^7*(32/35)

=16/105*π^3*r^7


積分はこの辺にして各次元の係数Knの関係を調べて見ます。

n=1,2,3,...7 に対して、Knは 2、π、4/3π、1/2π^2、8/15π^2 、1/6π^3、16/105π^3

という結果になりました。

それぞれの係数の比率を書き出してみると、

K1=2

K2=2 * 1/2π

K3=2 * 1/2π * 4/3

K4=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π

K5=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15

K6=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π

K7=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π * 32/35

となっています。

最後の

K7= 2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π * 32/35 をもう少し分解すると。

2→ 2* 1/1

1/2π→ π* 1/2

4/3→ 2* 2/(1*3)

3/8π→ π* (1*3)/(2*4)

16/15→ 2* (2*4)/(1*3*5)

5/16π→ π* (1*3*5)/(2*4*6)

32/35→ 2* (2*4*6)/(1*3*5*7)


ここまでくると規則性がはっきり見えてきました。

奇数次元へ1次元上がるときに

「nまでの偶数を全て掛けた数/nまでの奇数を全て掛けた数」*2 倍。

偶数数次元へ1次元上がるときに

「nまでの奇数を全て掛けた数/nまでの偶数を全て掛けた数」*π 倍。

となっています。

分子と分母で約分できる要素があるので整理すると、Knは、


分子:

2を(n+1)/2回掛ける、πはn/2回掛ける

分母:

nが奇数のときは「nまでの奇数を全て掛けた数」。

nが偶数のときは「nまでの偶数を全て掛けた数」。

となるので式にまとめると

奇数のとき、Vn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

偶数のとき、Vn=(2π)^(n/2)/n!!

といえます。(n!!は二重階乗)


K6について検算。n=6なので、2は3回、πは3回、分母は2*4*6 → 2^3*π^3*1/(2*4*6)=1/6*π^3

K7について検算。n=7なので、2は4回、πは3回、分母は1*3*5*7 → 2^4*π^3*1/(1*3*5*7)=16/105*π^3

あっているようです。

球面の層Sを球体中心から積んだ結果(積分)がVであることから、SはVの微分となります。

べき乗の微分は簡単なので、省略。

というかここまで書いてちょっと疲れましたです。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。大変に正確な積分からの解答、お疲れ様でした。

Vの一般式まで示して頂いて大変役立ちます。ところで表面積Sの値が見当たりません。

Sの一般式はSn=Vn*n/rで良いでしょうか?

折角ここまで出してもらったのですから、「球面の層Sを球体中心から積んだ結果(積分)がVであることから、SはVの微分となります。

べき乗の微分は簡単なので、省略。」でなく、値だけでも示して欲しかったです。

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