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「3の倍数と3の付く数字の時だけアホになります」という男がいたとして、1から10^n(10のn乗)まで数字を数えた場合、アホになった回数Aを求める数式を一般化して示すことはできますか。

●質問者: knsket
●カテゴリ:芸能・タレント 学習・教育
✍キーワード:数字
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● たかたか
●19ポイント

>アホになった回数Aを求める数式を一般化して示すことはできますか

できます。


3の倍数、3の付く数、重複するものを弾く

この3つを考えればOKです。

http://q.hatena.ne.jp/answer


2 ● imo758
●19ポイント

(10^n)-(((9^n)*2/3)+1)

アホにならない回数は位に3を用いない数の個数(9^n)の2/3に最後の10^n分の1回を加えた回数になります。

よってそれを数の個数10^nから引いて求めます。

もしマジメに10^nを数える代わりに0をアホになりながら数えるならば、式から+1が削除できます。

この式全体を(10^n)で割ってn→∞にすると0に収束します。つまり大きな数になると、実はほとんどアホになりっぱなしになってしまう、ということがわかります。

ダミーURL

http://google.com


3 ● Baku7770
●18ポイント

可能だと言えば可能でしょうね。

漸化式を表現するのは可能ですから。

f(n)=10^n以下の正整数の内3を含む数字の個数

g(N,M)=10^n以下の正整数の内3を含まず3で割った余りがmの数字の個数

とすれば

アホになる数(n+1)=10^n+9f(n)+3(g(n,0)+g(n,1)+g(n,2))

となりますから。

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/zk5.htm


4 ● quintia
●18ポイント

A 3の倍数でも3が付く数でもない

B 3の倍数だが3は付かない

C 3が付く


0?10^n (n>=1) で、A の個数を A_n、B,C についてもそれぞれ B_n, C_n とする。

ここで、A_n+1, B_n+1, C_n+1 を、A_n, B_n, C_n で表現したい(漸化式を作りたいということ)。

n→n+1 で、左側に1つ数を追加するイメージで捉えてみる。


C については桁数が増えてもCに属する。A、B に属する数は左に3が付いたときにCに属するようになる。

C_n+1 = 10×C_n + A_n + B_n


B について。0,6,9 がついたらまたBに属する。1,2,4,5,7,8 がついたらAに属する。(3 がついたらCに属するのは上で書いた)

A_n+1 = ? + 6×B_n

B_n+1 = ? + 3×B_n


Aについて。0,6,9 がついたらまたAに属する。

残りの6個の数字は、3で割った余りが1と2の場合で場合分けになる。

余りが1の場合、2,5,8 が来るとBに属するようになる。1,4,7ならAのまま。

余りが2の場合、1,4,7 が来るとBに属するようになる。2,5,8ならAのまま。

場合分けはしたものの対称的に半分の確率でAになったりBになったりする。

結果として、9通りの数字について、3通りでBに属するようになり、6通りでまたAに属する。

A_n+1 = 6×A_n + 6×B_n

B_n+1 = 3×A_n + 3×B_n


A_n+1 = 6×A_n + 6×B_n

B_n+1 = 3×A_n + 3×B_n

C_n+1 = 10×C_n + A_n + B_n

となるので、A_n+1 + B_n+1 + C_n+1 = 10 × (A_n + B_n + C_n) は大丈夫そう。


ここで、、

A_n+1 = 6×(A_n + B_n) ..(*1)

B_n+1 = 3×(A_n + B_n) ..(*2)

の2式を足すと

(A_n+1 + B_n+1) = 9×(A_n + B_n)


初項は、

A_1 = 6

B_1 = 3

C_1 = 1

で、A_1 + B_1 = 9 なので、単純に、

A_n + B_n = 9^n

になる


(*1)(*2)の関係と初項から、A_n = 2×B_n が保たれることがわかる

A_n : B_n = 2 : 1 なので、A_n = 2/3×(A_n + B_n) = 2/3×9^n


求めたいのは1から10^nの範囲で「Aに属していない数の個数」なので、0を取り除くことを考慮して、

10^n - 1 - \frac{2}{3} 9^n


n = 2 の場合、

3,6,9,12,13,15,18,21,23,24,27,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,42,43,45,48,51,53,54,57,60,63,66,69,72,73,75,78,81,83,86,89,92,93,96,99

となり、数えてみると45。

10^2-1-2/3×9^2=100-1-81×2/3=99-54=45


n=3 の検算は誰か……

http://q.hatena.ne.jp/answer


5 ● quintia
●18ポイント

答えが分かったら、見通しがすっきりしました。


0?10^n - 1 までの数を調べることになりますが、まず、3が含まれている数を省いて考えることができます。

調べるのは、{0,1,2,4,5,6,7,8,9}の9つの数字をn個並べたものです。

9^n個ありますが、問題はこの中に3の倍数がいくつ含まれているか? ということです。

(これは前の回答により、1/3 であることが分かっています)


「3の倍数は、全部の桁を足した数も3の倍数になる」という性質があります。


数字を並び替えましょう。

{0,6,9, 1,4,7, 2,5,8}

はい。3で割った時の余りで、3つのグループが作れます。

n=1の時。1つ数字を選んだ時に3の倍数である確率は1/3。そうでない確率は2/3。

n=2の時。1つ数字を選んだ時に3の倍数である確率は1/3で、そうでない確率は2/3。もう一つ選んだ時。前者からさらに3の倍数になる確率は1/9で、そうでない確率は2/9。後者(1つ数字を選んだ時に3の倍数でないケース)を、{1,4,7}と{2,5,8}に分けます。{1,4,7}からもう一つ数字を選んで3の倍数になる確率は1/3で、そうでない確率は2/3。1桁目が{1,4,7}は1/3なので、結局3の倍数になる確率は1/9で、そうでない確率は2/9。{2,5,8}でも同じ議論。結局3の倍数になる確率は1/9+1/9+1/9=1/3。そうでない確率は、2/9+2/9+2/9=2/3。

n=3以降も同様の議論になり、nに依らず、3の倍数である確率は1/3で、3の倍数でない確率は2/3。


{0,1,2,4,5,6,7,8,9}の9つの数字をn個並べたパターンは 9^n 個あって、その中で3の倍数は1/3を占めています。


10^n - 9^n が、3が含まれる数。

9^n × 1/3 が、それ以外に残っている3の倍数。


したがって、

(10^n - 9^n) + (9^n × 1/3) = 10^n - 9^n + 1/3 × 9^n = 10^n - (1 - 1/3) × 9^n = 10^n - 2/3 × 9^n

が答え。(0 を省くためにはさらに -1)


http://q.hatena.ne.jp/answer


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