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<問題>
手紙4通と封筒4枚があって、それぞれ1,2,3,4という番号がついている。同じ番号の手紙が、
同じ番号の封筒に入らないように、1通の手紙を1枚の封筒に入れる仕方は何通りか?
<質問>
1→2→3→4→1のループとして考えて、3!通り。これが誤っている理由を教えてください。
参考までに、正解は9通りになります。よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ループ 手紙
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● jun-ten
●15ポイント

1は2、2は3、3は4に入れるから、3通り、と云う考えの間違いですが、正確には1は2か3か4、2は1か3か4、3は1か2か4(4はいずれも左のどれかの裏返し)となり、9通りになります。


2 ● きゃづみぃ
●15ポイント

それぞれの袋に入れられるのは 3通りです。

そうすると 3×4袋 となりますが、最後の袋は そのひとつ前の袋が決まれば 決まってしまうので

実際は 3袋決まれば 4袋 決まることになります。

なので 3×3で 9通りできるのです。


3 ● some1
●15ポイント

>1→2→3→4→1のループとして考え


ここで思考の仮定が間違っています。


「1→2」以外の進み方に「1→3」「1→4」という分岐選択肢が存在するのを無視して

数字の絶対値順序を気にするあまり固定してしまっています


4 ● totsuan
●120ポイント ベストアンサー

http://q.hatena.ne.jp/1212577902

アドレスはダミーです。

>「1→2→3→4→1のループとして考えて」とは、

>2,3,4の順列が決まれば、組み合わせが決まると考えるからです。

>1→2→3→4→1は(1,2)と(3,4)、1→3→4→2→1は(1,3)と(4,2)という意味にとらえるということです。

>これでいくと、答えは3!通りになるわけですが、教えてほしいのは、これが駄目な根拠です。

質問者が示したい考え方としては(1→3→4→2→1の場合)、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒4に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒1に入れる、というパターンを想定していらっしゃったのでしょうか?

すると、最初に手紙1が入れる封筒は封筒1以外の3通りですが、

次の手紙が残りの封筒のいずれかに入る組み合わせはこれまた3通りになるはずです。

例)手紙1が封筒3に入る→残る手紙は2,3,4、残る封筒は1,2,4。

手紙3は封筒3に入らなければ良いのであるが、既に封筒3には手紙1が入っているので、

他のどの封筒でも良い=3通り。

ただし、これ以降手紙2,4と残った2つの封筒の組み合わせは1通りしかありえないので、

3×3=9通りとなる。

おそらく、1→(A)→(B)→(C)→1において

A,B,Cに2,3,4それぞれの数字を入れる組み合わせを考えれば良いから3!通りと計算されたのでしょうけど、

問題文の条件を満たす全ての組み合わせがこのループだけでは表せないというところが誤りですね。

なぜなら、

1)手紙1を封筒3に入れる

2)手紙3を封筒1に入れる

3)手紙4を封筒2に入れる

4)手紙2を封筒4に入れる、というパターンの場合は、

1→(A)→1、(B)→(C)→(B)となり、

質問者が提示されたパターンをとりえませんが、条件は満たしています。

これが3通りあるので、質問者の3!通りにこれを加えた9通りが正解となります。

正攻法は以下の通り。

手紙と封筒の単純な組み合わせは4!(=24)通り。

その中から、以下の組み合わせをを差し引く。

・1つの数字だけが同じになる組み合わせ=4×2通り。

→例)1が同じになった場合、手紙2,3,4は封筒「2」「3」「4」のいずれかに入るが、

決して同じ数字で対応しててはならないので、例えば手紙2は封筒「3」「4」のいずれにしか入らないし、

そうなると、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らないので。

・2つの数字が同じになる組み合わせ=4C2通り。

→例)1,2が同じになった場合、手紙3,4は封筒「3」「4」のいずれかに入るが、

決して同じ数字で対応しててはならないので、残った手紙と封筒の組み合わせは1通りしか残らない。

あとはどの数字が同じになるかという組み合わせ次第。

・3つの数字が同じになるとき=全ての数字が同じ組み合わせ→1通り。

すると、

4!?4×2?4C2?1=24?8?6?1=9通り。

お粗末さまでした。

◎質問者からの返答

すばらしいです。よくわかりました。ありがとうございます。


5 ● punkaholic
●100ポイント

途中で1に戻ってもいいことを忘れているからだと思います.

1から始まって1に戻るような並びが,3*2*1=6で,

1と他の3つのどれかが輪をなすような並びが3通りあり,合計9通り,ということです.

(これだけ見ても分からないかもしれませんが,たぶん質問者さんの考え方に沿えばそういう言い方になるかと;

1→2→1と3→4→3,1→3→1と2→4→2,1→4→1と2→3→2,の三つの数え漏れ.)

◎質問者からの返答

ドンピシャで解決しました。ありがとうございます。



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