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<問題>
袋の中に白球3個、黒球2個、赤球5個が入っている。ここから4個の球を取り出すとき、白球が
少なくとも2個含まれている確率は?
<質問>
「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに
(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)
としては、なぜ駄目なのかわかりません。教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:確率
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● gday
●15ポイント

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)


これだと白球を3個取り出す組み合わせが計算されないからです。

4個の玉を取り出す時は、白球は3個あるので



の場合が考えられます。

問題が「白球が少なくとも2個」なので2個と3個のそれぞれの場合について考えなければ全ての組み合わせを考慮したことにならないのです。


2 ● Gay_Yahng
●15ポイント

その計算の意味は

3個の白球から2個取り出して、1つを他の玉と混ぜて残りの8個の玉から1つ選ぶ場合の組み合わせ数になってしまう。

になってしまうから。

これじゃ納得できないかな?

組み合わせを全部書き出すとわかるんだけど。

同じ組み合わせがでてきちゃうよ。


3 ● noir_k
●100ポイント

一応,コメントの方にも書かせてもらいましたが

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から2個取り出す組み合わせ)

の書き間違え? ということで,説明させていただきます.


白球3つを白1,白2,白3,黒か赤の任意のものをA,Bとしたとき

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から2個取り出す組み合わせ)

の考え方では,白球2つの場合は


白1,白2+A,B

白1,白3+A,B

白2,白3+A,B


と重複せずに数えることができます.

しかし,白球3個の場合は


白1,白2+白3,A

白1,白3+白2,A

白2,白3+白1,A


と,3倍に重複して数えてしまいます.

そのため,2倍分の7*2=14個分のずれが生じてしまいます.

◎質問者からの返答

わかりやすく教えてもらい、すっきりとできました。ありがとうございます。


4 ● kappagold
●100ポイント ベストアンサー

遅くなってしまいましたが、まだOKのようなので書かせていただきます。


(白球を○、赤もしくは黒の場合を●とします。)


この問題の基本的な回答は、

?白球が0個の場合、

?白球が1個の場合、

?白球が2個の場合、

?白球が3個の場合

これをそれぞれ出して、?と?を足して答えを出しますよね。(答えは1/3)

ここで、ちょっと補足しますが、白球が1個の場合の確率は

(3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)にいつ白球を取るかということで、

○●●●

●○●●

●●○●

●●●○

の4通りをかけて、

(3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)×4となります。

(他の場合は、省略します。)



それに対して、massa-willさんは、白球を2個取ってしまえば後は2個だろうが3個だろうが一緒なのではないかと考えて、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答を出せると考えたのではないかと思います。


ここまでの仮定が違っていたら、この後は大勘違いです・・・。



「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答をする場合、

(白球を○、赤もしくは黒の場合を●、どちらでも良い場合を◇とします。)

この場合も、白球をいつ取るかということを考えます。

4回取るので、以下の6通りの取り方があります。

○○◇◇

○●○◇

○●●○

●○○◇

●○●○

●●○○

それぞれの確率は、

(3/10)×(2/9)×(8/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(2/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(3/9)×(2/8)×(7/7)

(7/10)×(3/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(6/9)×(3/8)×(2/7)

これを合わせると、

?白球が2個の場合+?白球が3個の場合と同じになります。

これを計算すると1/3ですよね。

ということで、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答するのもいい考えだと思います。





もしかしてとは思いますが、massa-willさんの疑問は、

(2/3)×(1/2)×(8/8)×(7/7)で、1/3になるので、この式で回答を出してはいけないのかということでしょうか。

私には、(2/3)×(1/2)の部分の解釈が出来ないので、私なら不正解に・・・。


ここは他の回答者の意見を聞きたいところです。

◎質問者からの返答

kappagoldさんの回答があると思って締めてませんでした。

「仮定が違っていたら、この後は大勘違い」とありましたが、大当たりです。

とてもよくわかり、勉強になりました。ありがとうございます。



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