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<問題>
100枚のカードに1から100までの番号が書いてある。任意に1枚を取り出すとき、その番号が
2の倍数、3の倍数、5の倍数である事象をそれぞれE、F、Gとする。
(1)EとFは独立か、従属か?
(2)EとGは独立か、従属か?
<質問>
(1)P(E∧F)≠P(E)*P(F)より従属 (2)P(E∧G)=P(E)*P(G)より独立
という答えですが、これはこれでわかります。しかし、独立と従属の意味が
わからなくなってしまいました。意味合いからすると、あくまで自分の理解からすると、
事象Eが起きたという条件のもとでも、影響を受けないで、事象F、Gが起こるか否かということ
ですから、(1)も(2)も影響を受けないわけがないような気がしてしまいます。
一体、どのように理解したらよいのでしょうか?教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:けが カード 独立
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● totsuan
●80ポイント

事象F(3の倍数)、事象G(5の倍数)がの発生する確率が

事象E(2の倍数)の発生の有無によってどのように変わるのかについてですが、

以下の通りに一つ一つ確かめてみます。


1)事象Fについて:

まず、事象Eが起こった場合。

カードの数字はすでに2の倍数ですから、この状態で事象Fが起こり得る(つまりカードの数字が6の倍数)のは

「6」「12」「18」「24」「30」「36」「42」「48」

「54」「60」「66」「72」「78」「84」「90」「96」の場合だけです。

次に、事象Eが起こらなかった場合。

今度はカードの数字が奇数ですから、この状態で事象Gが起こり得るのは

「3」「9」「15」「21」「27」「33」「39」「45」

「51」「57」「63」「69」「75」「81」「87」「93」「99」の場合だけです。

ここで、事象Eが起こった場合、事象Fが起こる確率は16/50になっています。

しかし、事象Eが起こらない場合、事象Fが起こる確率は17/50になっています。

つまり、事象Eが起こるか起こらないかによって、事象Gの「起こり方」そのものも確率も変化するという訳です。

よってこの関係性は、「従属」と表現できます。


1)事象Gについて:

まず、事象Eが起こった場合。

カードの数字はすでに2の倍数ですから、この状態で事象Gが起こり得る(つまりカードの数字が10の倍数)のは

「10」「20」「30」「40」「50」「60」「70」「80」「90」「100」の場合だけです。

次に、事象Eが起こらなかった場合。

今度はカードの数字が奇数ですから、この状態で事象Gが起こり得るのは

「5」「15」「25」「35」「45」「55」「65」「75」「85」「95」の場合だけです。

さて、ここで事象Eが起こる場合も起こらない場合も、事象Gが起こる確率は1/10になっています。

確かに、事象Eが起こるか起こらないかによって事象Fの「起こり方」そのものは変化しますが、「確率」は変化しないのです。

よってこの関係性は、「独立」と表現できます。


ちなみに、以下のサイトを参考にしたんですけどね。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1112085...

御粗末さまでした。

◎質問者からの返答

すばらしいです。とてもよくわかりました。ありがとうございます。


2 ● noir_k
●80ポイント

EとGが独立であることを説明します。


まず、Eが起こってかつGが起こる場合を考えます。

Eが起こるということは、任意の1枚は

2,4,6,8,...,96,98,100

の50通りです。そのうち、Gが起こるのは、

10,20,30,...,80,90,100

の10通りです。よって、Eが起こってかつGが起こるのは

10/50=1/5

になります。


同様に、Eが起こらないでかつGが起こる場合を考えます。

Eが起こらないということは、任意の1枚は先程と逆で

1,3,5,7,...,95,97,99

の50通りです。そのうち、Gが起こるのは、

5,15,25,...,75,85,95

の10通りです。よって、Eが起こらないでかつGが起こるのは

10/50=1/5

になります。


つまり、Eが起ころうが起こるまいが、Gが起こる確率は1/5になっているわけです。

ですので、独立ということができます。


次にEとFが従属である説明をします。


まず、Eが起こってかつFが起こる場合を考えます。

Eが起こるということは、任意の1枚は

2,4,6,8,...,96,98,100

の50通りです。そのうち、Fが起こるのは、

6,12,18,...,84,90,96

の16通りです。よって、Eが起こってかつFが起こるのは

16/50=8/25

になります。


同様に、Eが起こらないでかつFが起こる場合を考えます。

Eが起こらないということは、任意の1枚は先程と逆で

1,3,5,7,...,95,97,99

の50通りです。そのうち、Fが起こるのは、

3,9,15,21,...,87,93,99

の17通りです。よって、Eが起こらないでかつFが起こるのは

17/50

になります。


つまり、Eが起こる場合と起こらない場合で、Gが起こる確率は異なります。

よって、従属ということができます。

◎質問者からの返答

すばらしいです。とてもよくわかりました。ありがとうございます。


3 ● hibariyu
●10ポイント

独立の定義から行きましょう。

事象Eと事象Fが「独立(独立事象)」であることとは、

P(E\cap F)=P(E)P(F)

が成り立つことをいう。

これではわからん、ということで、条件付き確率について考えてみましょう。

Eが成り立つとき、Fが成り立つ確率P(F\mid E)は、

P(F\mid E)=\frac{P(E\cap F)}{P(E)}

と表せます。


すると、独立の定義P(E\cap F)=P(E)P(F)は、

P(E\cap F)=P(E)P(F)=P(E\mid F)P(E)より、

P(E\mid F)=P(F)と書くことができます。

つまり、事象E,Fが独立のとき、Fの起きる確率はEの条件があるかないかには関係ないということです。


これは質問者様の「事象Eが起きたという条件のもとでも、影響を受けないで、事象F、Gが起こるか否かということ」という理解と大体同じですが、ここではあくまで確率に注目していることに気をつけましょう。


では、問題に取り掛かりましょう。


(1)

上記より、P(E\mid F)=P(F)となっているかどうか確かめます。

P(F)=\frac{33}{100}

P(E\mid F)=\frac{15}{33} (※(6の倍数の数)/(3の倍数の数))

以上より、P(E\mid F)\neq P(F)

よって、EとFは独立でない(=従属である)


(2)

同様に、P(E\mid G)=P(G) であるかどうかを示します。

P(G)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}

P(E\mid F)=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} (※(10の倍数の数)/(5の倍数の数))

以上より、P(E\mid G)=P(G) が成り立つので、

事象EとGは独立である。

(解答終)

上記のように、あくまで「確率」を考えていることに留意してください。

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