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<問題>
赤球r個、白球n個が入っている袋の中から同時に2個取り出す。ただし、nは自然数、rは3以上の自然数とする。赤球、白球が1個ずつである確率はpn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}であるが、rを固定するときpnを最大にするnとそのときのpnをrを用いて表せ。
<自己の答案>
pnが最大になるとすれば、pn/pn-1≧1であるから、
n(n+r-2)/{(n+r)(n-1)}≧1 ∴n≦r(条件よりrは定数)・・・?
ところで、r≧3,n≧1であるから、?は1≦n≦3となる。・・・?
よって、1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0;
p1≦p2≦p3 ・・・?
である。また、3<nのときはpn/pn-1≧1が成り立たず、pn/pn-1<1すなわちpn-(pn-1)<0;
p4>p5>p6 ・・・?
である。よって、?と?から。。。もうわかりません。なんだこりや。
<質問>
500字を超えるのでコメント欄に書き込みます。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:p2 PN R-1 コメント欄 確率
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● BigBrother
●5ポイント

詳細は面倒なので考え方だけ。

要するにP(n)というnについての関数があってその最大値を求める問題だから、P(n)をnについて微分し最大値が存在するか、存在するとしたらそのnを求める。

nは自然数なので求めたnの前後の自然数で大小を比較し大きい方を解とする。


2 ● araheu
●10ポイント

質問全てに順番に答えるわけではありませんが。

>質問1)?みたいな操作はやってもいいのでしょうか?不安です。

?は正しいと思います。後で出てくる答えもその条件を満たしています。ただ

>ところで、r≧3,n≧1であるから、?は1≦n≦3となる。・・・?

rは3以上の整数であり、r=3に限った場合だけ考えるのはナンセンスで

>よって、1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0;

>p1≦p2≦p3 ・・・?

pn/pn-1≧1はpnを最大とするnについて成り立つものであり(そのnに対してはp(n)/p(n+1) ≧1も同様に成り立ちます)、?が成り立たない以上?の結論は導けません。?にハマってしまったので、この後の議論が意味がなくなります。


教科書で教える正しい解法かは分かりませんが、微分学をご存知でしたらpnをnで微分したものがゼロと等しくなるnが極値をとることがわかります。実際にpnをnで微分すると

dpn/dt=2r(r^2-r-n^2)/((r+n)(r+n-1))^2

と計算でき、n=(r^2-r)^(1/2) ←分かり辛いかもしれませんが、(r^2-r)の二乗根です

となり、実際にnがこの値を取る時にpnは最大になります。

で、実際に入れてみると…あんまりきれいな形にならないですが、これでいいのかな?


3 ● yuki333zityo
●1000ポイント ベストアンサー

?まではOKです。ただ、いきなりn≦rと書くとわかりにくいので、少し説明を書いたほうが良いでしょう。

?が問題です。r=3のときは1≦n≦3ですが、rがわかっていない以上、1≦n≦rとしなくてはいけません。r=6のときは1≦n≦6となるわけですからね。

次に「1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0」という箇所も間違っています。

Pnが最大になるから、Pn?P(n-1)≧0が成り立つのです。別にP1やP2が最大になるとは限りません。だから、P1<P2<P3というは違うのです。

なので、massa-willさんの考えだと、この問題は解けないんじゃないかな、と思います。

ここからは自分の考えですが、

pn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}

ですから、分母を展開して分子分母をnで割ります。

pn=2r/〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕

2r=一定ですから、分母が最小となったとき、pnは最大となります。

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕の最小値を求めます。相加相乗平均の関係から、

〔n+(2r-1)+(r^2-r)/n〕≦(2r-1)+2√(r^2-r)

よって、Pnの最大値は、2r/〔(2r-1)+2√(r^2-r)〕

となります。等号成立条件は、n=(r^2-r)/n

よってこのとき、n=√(r^2-r)

となります。しかし、これはnを実数の範囲で考えているときの場合です。nは自然数ですので、√(r^2-r)の前後の自然数をnに代入し、それらを比較して、大きい方を、Pnの最大値とします。√(r^2-r)の前後の自然数を求めます。

まず、(r?1)^2ー(r^2-r)=1-r<0 (r>3より)

よって、(r^2-r)>(r-1)^2

よって、(r-1)^2<(r^2-r)<r^2となり、</p>

(r-1)<√(r^2-r)<r</p>

となるため、(r-1)<n<rとなります。よって、√(r^2-r)の前後の自然数は、(r-1)とrということになります。ここで、</p>

P(r)=2r^2/2r(2r-1)=r/2r-1

P(r-1)=2r(r-1)/(2r-1)(2r-2)=r/2r-1

よって、Pr=P(r-1)

以上から、Pnを最大にするn=r、またはr?1

最大値は、r/(2r?1)

ということになります。

◎質問者からの返答

親切な回答をありがとうございます。

?でn≦rを得たとき、いかなるrについても成り立つものと考えたのですが、そうではなく

pn/pn-1≧1とおくことは、pn/pn-1≧1が成り立つようなrでなければならないと定めてい

ることに等しいということですか?


4 ● 伊田匡嗣
●15ポイント

ほぼ解決されているのかもしれませんけど,ちょっと不安になる部分があるので.....

Pn=2rn/{(n+r)(n+r-1)}はnで微分しちゃいけませんよ.nで微分,できないですよね.微分っていうのは「連続な関数」上でしか(高校数学では)定義されないので,nを自然数と言ってる時点でPnは微分できません

それと,比をとるとか差をとるっていうのは,数列の和の最大を求めるときなので,今回は使えないですね.

ぢゃ,どう解くの?っていうと,id:yuki333zityoさんの解法になりますかねぇ.ほかの解法はちょっとおもいつかないです.ゴメンナサイm(_ _;)m

◎質問者からの返答

>ほぼ解決

いえいえ、質問2)が手つかずのまま残っています。

『1≦n≦3のとき、pn/pn-1≧1すなわちpn-(pn-1)≧0』が仮に成り立つものとして、

回答をいただけたら大変に助かります。

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