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<問題>
各項が正である数列{an}が、任意の自然数nに対して(Σak)^2=Σak^3(Σはk=1からnです)を満た
すとき、anの一般項はan=nと推定される。この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
<質問>
この問題で、場合分けの「n=kのときOK」が使えない理由がいまひとつわかりません。
教えてください。尚、問題のヒントには以下の説明がありましたが、解答例と同様に
よくわかりませんでした。

普通の帰納法でいう「n=kのときOKならば、n=k+1もOK」の「n=kのときOK」を強化して
おく必要がある。和を計算するには、n=1,2,3,,,kの場合を使うからである。


●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AK ひとつ 帰納法 数学的帰納法 普通
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● kappagold
●60ポイント

決まりといってしまえば決まりなのですが・・・・。


1+3+5+・・・ +(2n-1)=n^2 (n=1,2,3 ・・・ )

上記のような、nを含む数式を証明する際には、「P(k) が正しいとすれば,P(k + 1) も正しい」ことを証明します。

(与えられた数式にあるのは、nだけです。)

この場合、kは任意の自然数なのですが、あるkという数に固定しているので、正しいと仮定しているのはkのところだけです。


(Σak)^2=Σak^3(Σはk=1からnです)

→(Σan)^2=Σan^3(n=1,2,3 ・・・ )

書き換えると(a1+a2+・・・ +a(n) )^2=a1^3+a2^3+・・・ +an^3

今回のような、数列a(n)を含む数式を証明する際には、「P(1), ..., P(k) が正しいとすれば,P(k + 1) も正しい」ことを証明します。

(与えられた数式にあるのは、a1?anまでのすべてです。)

この場合、先のものと同じくakについてのみ成り立つと仮定すると、その数式に含まれている1?(k-1)については正しくなくても良いことになってしまいます。

そのため、1?kまですべてで成り立つと仮定しておく必要があるのです。

強化とはこのことを言っているものと思います。


自分で書いていて文章が判り難いように思いましたが、判りますでしょうか?

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。

まだ「普通のやつ」との違いが見えない状態です。同じに思えてしまいます。

どうして『先のものと同じくakについてのみ成り立つと仮定すると、その数式に含まれている

1?(k-1)については正しくなくても良いことになってしま』うのですか?


2 ● yo-kun
●60ポイント

>場合分けの「n=kのときOK」が使えない理由がいまひとつわかりません。

「使えない」のではなく、「不十分」もしくは「足りない」のほうが表現として適当だと思います。

通常、よく使う帰納法の論理展開は

1)k=1の時に成り立つことを示す。(初期段階)

2)k=nの時に成り立つと仮定したときk=n+1の時にも成り立つことを示す。(帰納段階)

ことを証明します。すると

k=1の時成り立つことは1)の証明で保障されている。

上の行よりk=1の時成り立つことはわかったのでk=2の時成り立つことは2)で保障されている。

上の行よりk=2の時成り立つことはわかったのでk=3の時成り立つことは2)で保障されている。

ということになり、全ての1以上の自然数について証明されたことになります。


今回の場合は

1)k=1の時に成り立つことを示す。(初期段階)

2)k=1,2,…,nの時に成り立つと仮定したときk=n+1の時にも成り立つことを示す。(帰納段階)

ことを証明することになります。すると

k=1の時成り立つことは1)の証明で保障されている。

ここまででk=1の時成り立つことはわかったのでk=2の時成り立つことは2)で保障されている。

ここまででk=1,2の時成り立つことはわかったのでk=3の時成り立つことは2)で保障されている。

ということになり、全ての1以上の自然数について証明されることになります。


さて、この問題を証明するにあたって帰納段階で

\sum^{n}_{k=1}a_{n} = \sum^{n}_{k=1}k = \frac{1}{2}n(n+1)

を利用すると思います。

これはa_1=1,a_2=2,\ldots,a_n=nまでが全て証明されていることを仮定しています。

つまりa_n=nがわかっているだけでは不十分です。

従って前者の帰納法の論理展開では不十分で、後者の帰納法の論理展開を用いるのが正しいことになります。

◎質問者からの返答

整理して書いていただいて、ありがとうございます。

だんだんとわかってきました。

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