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大学教養レベル線形代数学を勉強中の者です。二次形式の最大最小値に付いて質問です。ある問題解説で、「Aを3×3の対称行列、X=(x,y,z)、Xの転置行列をtX、|X|=1のとき、2次形式tXAXの最大値、最小値は、・・(省略)・・・、Aの固有値の最大値、最小値に等しい。」とありました。
途中の・・・は難しくて意味不明な為省略しましたが、知りたいのは、(1)結論の、「Aの固有値の最大値、最小値に等しい。」が常に成り立つのかどうかと言うこと。常に正しいのなら定理とも言えると思いますが、定理という説明はなく、私が調べても定理としては見つからなかったので、(2)もし定理なら、何と言う定理なのか名称を教えてほしい、と言うのが質問です。また常に正しいなら、前文の条件下で同様の問題を解くときに、途中の・・・の省略した説明式を無視して結論にいっきに飛んで、最大最小値を解答して良いことになると思いますが、いかがでしょうか?参考になるHPをご紹介下さるのも歓迎です。どなたか線形代数に詳しいかたアドバイスください。

●質問者: わにかめ78
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:TX いっき アドバイス レベル 勉強
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● Z9M9Z
●25ポイント

3x3の対称行列は、直交行列によって対角化可能で‥途中説明飛ばすと、3次元の楕円体を表現しているとみなせます。

その固有値は、それぞれ楕円体の「半径」に相当します。

|X|=1のベクトルは、軸の基底‥ようするに向きだけをもったもんで、

その「最大・最小になる向き」はそれぞれ楕円体の一番長い径と一番短い径になります。

なんつうか、対称行列の意味の説明みたいな話なので、これに定理として名前がついてるとは思えません‥。

http://www.orsj.or.jp/~wiki/wiki/index.php/%E6%A5%95%E5%86%86%E4...

◎質問者からの返答

Z9M9Zさんアドバイスありがとうございます。

なるほど、半径ですか。ならば、固有値のひとつがゼロだっったら、楕円体ではなく、平べったい楕円面になりますか?

?また、固有値にマイナスが含まれるとどうなりますか?

引き続きお願いします。


2 ● Q-tarou
●15ポイント

(x,y)をxとyの内積と記します.

(Ax,x)/(x,x)は, Rayleigh 商と呼ばれています. この(x,x)はxのノルムなので, (Ax,x)/(x,x) = (A(x/(x,x)), (x/(x,x)))となり, X = x/(x,x)とおけば, norm(X) = 1で, Rayleigh商= (AX,X) = X^TAXとなります.

で, この事実は, 例えば, 伊理正夫の"一般線形代数"では, Hermite行列の固有値に関する最大・最小定理として参照されています. もちろん, 証明もあります. ただ, この定理は上記を少し一般化しているので, 読みにくいかもしれません.

必要であれば, Rayleigh商で検索するとよいでしょう.

http://www.amazon.co.jp/一般線形代数-伊理-正夫/dp/4000050478/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1216084258&sr=8-1


3 ● ita
●20ポイント

まあブッチャケた話が、x^2+y^2+z^2=1 の時、a x^2+ b y^2 + c z^2 の最大値と最小値は?

って問題と同じです。a,b,c の符号にかかわらず、そんなかの最大と最小がそのまま答えなのはまあ自明なんじゃないでしょうか。

修論orD論なら説明いらないでしょうが、これが線形代数の試験だとしたら、そりゃ説明しないといけないでしょうね。「意味不明な数式の羅列」んところを自分の言葉で説明することが求められてるわけで。

http://www.s-lab.nd.chiba-u.jp/sekiya/class/math/sec7.pdf


4 ● hnagoya
●20ポイント

http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form

対称行列の直交行列による対角化可能性から、うまいこと直交行列を選べば、対称行列Aの固有値をa,b,c (a => b => c)としたときに

ax^2 + by^2 + cz^2 の x^2 + y^2 + z^2 = 1 という制約条件下での最大最小値を求める話に帰着して、最大値はaで最小値はcとなる、

という話ですから「常に成り立つ」という意味では「定理」のはずです(で、Aが正定値対称行列ならば a => b => c > 0 なので楕円体表示が考えられると)。ただ、「教科書」に「定理」として記載されているかどうかは

ケースバイケースなんじゃないでしょうか…記憶の限りでは、誰にでも通じる「なんとかの定理」というような呼称はなかったような気がします。

また「問題を解くときに」「結論にいっきにとんで」良いか否かは、その問題が出された文脈依存だと思います。

二次形式の最大最小値が対応する対称行列の固有値の最大最小値と一致することを証明せよ、という流れだったらいっきに飛んじゃまずいでしょうし、そうでなければ飛んでもよいでしょうし。

◎質問者からの返答

hnagoyaさんアドバイスありがとうございます。なるほどよく判りました。後ひとつ、確認ですが、b>0で、最小固有値cがc<0の時も、(正定値対称行列でなくとも)cを最小値にして良いのですね?


5 ● hnagoya
●20ポイント ベストアンサー

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers

4と同じ人間です(人力検索はツリーみたいに回答継続できないのですね)。

「b>0で、最小固有値cがc<0の時も、(正定値対称行列でなくとも)cを最小値にして良いのですね?」

(a,b,cの符号とは無関係に)Yesです。x^2+y^2+z^2=1 という制約下で ax^2+by^2+cz^2 (a=>b=>c) の

取る値は a が最大値で c が最小値という「定理」は a,b,c が任意の実数のときに成立しますので。

# 荒っぽい証明はラグランジュの未定乗数法でできます。

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