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<問題>
数列の問題。問題文と解答例を下に分割して画像リンクしました。

はじめての試みにつき、うまく画像が出るか不確かです。
大目に見ていただけるようお願い致します。

<質問>
本解の3番にメモでありますが、n≧2であるから、p2とn-2となるように思えます。
これが誤りで、解答例のようになる理由を教えてください。
別解について、必要をふたつ並べて、必要条件?そうと言える理由がわかりません。
教えてください。あるいは、単にそう覚えるのでしょうか?
また、このときの「必要」と「必要条件」の違いを教えてください。
よろしくお願いします。

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●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:p2 メモ リンク 必要条件 画像
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● 伊田匡嗣
●45ポイント

まず,はじめの部分なんですけど

n≧2であるから、p2とn-2となるように思えます

それでもOKです.でも,解答のようにp1とn-1でもOKです(むしろ解答のほうが自然).ちょっとさかのぼって考えてみましょうか??

まず与えられている漸化式はa_n=ba_{n-1}+(-c)^{n-1}(n\geq 2)ですね.この両辺をb^nで割って,an/b^n=pnとおくので,pnの満たすべき式は

p_n=p_{n-1}+\frac{1}{b}\left(-\frac{c}{b}\right)^{n-1}(n\geq 2)です.右辺の添字がn-1であることに注目すると,n>=2の元では,n-1>=1.すなわち,この漸化式にはn=2としたときのp_2=p_1+\frac{1}{b}\left(-\frac{c}{b}\right)^1が含まれるわけです.

たぶんmassa-willさんは公式をそのまま使おうとしたんですよね??こんな公式.....

\alpha _{n+1}-\alpha _n=S_n (n\geq 1) \Rightarrow \alpha _n=\alpha_1+\sum^{n-1}_{k=1}S_k

もしmassa-willさんのように考えるのなら,p2を求めて代入すれば同じ答えになるはずですよ

あと後半部分

  1. 必要をふたつ並べて、必要条件?そうと言える理由がわかりません。教えてください。あるいは、単にそう覚えるのでしょうか?
  2. また、このときの「必要」と「必要条件」の違いを教えてください。

まず2から.この場合の「必要」は「必要条件」と同じ意味です.で,その上で1についてお答えすると,,,,,

別解が何をやってるのか?っていうとですね,特殊な事例(計算が楽な事例)で「どういう条件を満たせば良いのかなぁ?」と考えてるんです.だから,6枚目の写真のn=2のときでb\geq cと出てきたときに「これが必要条件」と言ってしまっても良いのです.ただし,そのとき「これって必要条件すべて羅列されてないよねー」と言われるかもしれないから,もうちょっといろんな事例でも検証しましょうっていうのが6〜7枚目のn=3,4の事例なんです.

こんなんでわかりますか?必要十分はけっこう悩む部分だと思うので,ゆっくり考えてみてください.

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。

Pn-Pn-1=(1/b)*(-c/b)^n-1・・・?

?はP2-P1=(1/b)*(-c/b)を含むから、n≧1で成り立つという意味でしょうか?

しかし、その道理がわかりません。どうしてn≧1で成り立つと言えるのですか?

?を階差数列の形から、普通の数列の形に直して、

Pn=Pn-1+(1/b)*(-c/b)^n-1としても、左辺ではP1をつくることはできません。

まいりました。ああ、もうわかりません。


2 ● gya0521
●45ポイント

* 前半について

n\ge2 というのは、漸化式の中でnに当て嵌める範囲の話であり、p_na_nの添字のnが取り得る範囲とは関係がありません。そこを勘違いされている質問のように思えます。

実際に、p_1a_1が存在することに問題はありません。また、3番のメモの部分の式も間違ってはいません。

p_2でも正しい式にすることは可能ですが、以下のようにn-2ではなくて\sumの下のk=1k=2になります。

p_n=p_2+\sum_{k=2}^{n-1}(p_{k+1}-p_{k})=p_1+\sum_{k=1}^{n-1}(p_{k+1}-p_{k})

また、n-2にする為には、

p_{n-1}=p_1+\sum_{k=1}^{n-2}(p_{k+1}-p_{k})

こんな感じの式になります。

正しい式にはできますが、計算等の都合で解答例のようにするのが良いでしょう。

また、\sumの意味を正しく理解されているかもう一度確認された方が良いかもしれません。

n=2,3の時は以下のような等式が成立します。

p_2=p_1+(p_2-p_1)=p_1+\sum_{k=1}^{2-1}(p_{k+1}-p_{k})

p_3=p_1+(p_2-p_1)+(p_3-p_2)=p_1+\sum_{k=1}^{3-1}(p_{k+1}-p_{k})

* 後半について

この場合の「必要」と「必要条件」は同じ意味です。

「必要条件」は幾つ集めても「必要条件」です。

この問題の場合には、n\ge3の場合に必要条件を求める必要は、実際にはありませんでした。

しかし、それは問題に初めから与えられている「必要十分条件」からそれ以上の条件を求める必要(あるいは 意味/効果)が無いことがわかるというだけです。

◎質問者からの返答

アドバイスのように、いまいちどシグマの基本を確認してみます。ありがとうございます。

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