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知人から次の問題を出されました。自分でも考えてみましたが、意外と難しくてよくわかりません。どなたか解法を教えてください。

男性が19人、女性が6人います。
そこから無作為に2人ずつ取り出して、1つの班にしていきます(班には区別があるものとします)。
こうして2人ずつの班を5組作りました。
この5つの班のなかに、(女性・女性)の組み合わせがひとつもない確率はいくつでしょう?


●質問者: spidermite
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:ひとつ 作りました 女性 男性 確率
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● totsuan
●20ポイント

http://q.hatena.ne.jp/answer

アドレスはダミーです。


まず、全体(25人)で2人ずつ5組を作る組み合わせは、

25C2*23C2*21C2*19C2*17C2・・・(A)


次に、その構成が男性のみの場合はというと、

19C2*17C2*15C2*13C2*11C2・・・(B)

男女の組が1つある場合の組み合わせは、

(女性1人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り9人の男性を選ぶ組み合わせ)

10C1*5 * 19 * 18C2*16C2*14C2*12C2・・・(C)

男女の組が2つある場合の組み合わせは、

(女性2人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り8人の男性を選ぶ組み合わせ)

10C2*5*4 * 19*18 * 17C2*15C2*13C2・・・(D)

男女の組が3つある場合の組み合わせは、

(女性3人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り7人の男性を選ぶ組み合わせ)

10C3*5*4*3 * 19*18*17 * 16C2*14C2・・・(E)

男女の組が4つある場合の組み合わせは、

(女性2人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り6人の男性を選ぶ組み合わせ)

10C4*5*4*3*2 * 19*18*17*16 * 15C2・・・(F)

男女の組が5つある場合の組み合わせは、

(女性5人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り5人の男性を選ぶ組み合わせ)

10C5*5*4*3*2*1 * 19*18*17*16*15・・・(G)


以上より、問題となる確率は{(B)+(C)+(D)+(E)+(F)+(G)}/(A)で求められると思います。

もっと専門な人だったら、簡潔確実な方法を提示されるかもしれませんが。

御粗末さまでした。

◎質問者からの返答

どうもありがとうございます。

計算してみると、1を超えてしまうようです(こちらの計算ミスかもしれません)

どなたかもう少し説明を加えていただけるとありがたいです。


2 ● totsuan
●20ポイント

http://q.hatena.ne.jp/answer

アドレスはダミーです。


再回答で失礼します。

男女のペアの組み合わせの考え方において、算出方法を間違えていたみたいです。

しかも、女性を10人で計算していたので、かなり滅茶苦茶になってました。すみません。

以下に一部修正版を書いておきます。


----------------------------------------------------------------------------------

男女の組が1つある場合の組み合わせは、

(女性1人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り9人の男性を選ぶ組み合わせ)

6P1 * 19P1 * 18C2*16C2*14C2*12C2・・・(C')

男女の組が2つある場合の組み合わせは、

(女性2人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り8人の男性を選ぶ組み合わせ)

6P2 * 19P2 * 17C2*15C2*13C2・・・(D')

男女の組が3つある場合の組み合わせは、

(女性3人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り7人の男性を選ぶ組み合わせ)

6P3 * 19P3 * 16C2*14C2・・・(E')

男女の組が4つある場合の組み合わせは、

(女性4人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り6人の男性を選ぶ組み合わせ)

6P4 * 19P4 * 15C2・・・(F')

男女の組が5つある場合の組み合わせは、

(女性5人を選ぶ組み合わせ)×(そのペアとなる男性の組み合わせ)×(残り5人の男性を選ぶ組み合わせ)

6P5 * 19P5・・・(G')

----------------------------------------------------------------------------------

以上より、問題となる確率は{(B)+(C')+(D')+(E')+(F')+(G')}/(A)となり、

P = 0.126(※以下、四捨五入)となりました。


・・・何か予想よりえらく確率が低い気がしますが、またどこかで間違ったかな?

お粗末さまでした。

◎質問者からの返答

たびたびありがとうございます。たしかに予想よりだいぶ低いですね・・・

つきあわせてすみません。


3 ● ttrr
●30ポイント

班ごとに椅子を2つ用意します。

班Aは椅子A,a

班Bは椅子B,b

班Cは・・・

といった具合です。

例えば、班Aにジャックとスミスが属する場合

『a・・・ジャック A・・・スミス』と『a・・・スミス A・・・ジャック』

を異なる場合としてカウントするわけです。

(別に文字は今後出てきませんが、わかりやすさのために使いました)

このように設定し、ペア内で席順が異なるとして数えても

結果の確率には影響しないことを確認してください。

(最終的に分母分子を2^5=32で割るだけで確率である解答に

影響は出ないのです。)

以下では、女性と女性のペアが生じる場合を数え上げていきます。

最終的に女性同士のペアができる確率を求めればその余事象が

求めている確率になることを確認してください。


班分けされる10人(以下メンバーと呼ぶ)の中に

何人の女性がいるかで場合分けをして考えます。

[0]メンバー内に女性が0人

[1]メンバー内に女性が1人

これらのとき、女性同士のペアは生じません。

[2]メンバー内に女性が2人

このとき

(どの班か)\times(どの2人が同じペアかか)\times(残りの男性8人の選び方)\times(並べ方)

=5\times(6\times5)\times(4C0\times19C8)\times8!

女性が3人以上のときも似たような感じです

[3]メンバー内に女性が3人

このとき女性同士ペアの2人の選び方、2人がどの班に属するかを考慮すれば

メンバーに選ばれた3人目(男性とペアを組む)の女性は男性と一緒に扱うことが

できることを確認してください。すると、

(どの班か)\times(どの2人が同じペアかか)\times(残りの女性1人+男性7人選び方)\times(並べ方)

=5\times(6\times5)\times(4C1\times19C7)\times8!)

後は同じ要領で行きます。

[4]メンバー内に女性が4人

(どの班か)\times(どの2人が同じペアか)\times(残りの女性2人+男性6人選び方)\times(並べ方)

=5\times(6\times5)\times(4C2\times19C6)\times8!)

[5]メンバー内に女性が5人

(どの班か)\times(どの2人が同じペアか)\times(残りの女性3人+男性5人選び方)\times(並べ方)

=5\times(6\times5)\times(4C3\times19C5)\times8!)

[6]メンバー内に女性が6人

(どの班か)\times(どの2人が同じペアか)\times(残りの女性4人+男性4人選び方)\times(並べ方)

=5\times(6\times5)\times(4C4\times19C4)\times8!

さて、ここに式を書き下した[0]?[6]の和が女性ペアを生じる組み合わせの数の和を求めます。

これらの式はとてもよく似ていて、異なるのはコンビネーションを含む箇所だけです。

すなわち

5\times(6\times5)\times{(4C0\times19C8)+4C1\times19C7)+(4C2\times19C6)+(4C3\times19C5)+(4C4\times19C4\times)}\times8!

さてこの式中の中括弧{}の中身ですが2項定理の応用で

((x+1)^4の0次の項の係数)((x+1)^19の8次の項の係数)+((x+1)^4の1次の項の係数)((x+1)^19の7次の項の係数)+・・・((x+1)^4の4次の項の係数)((x+1)^19の4次の項の係数)

=((x+1)^23の8次の項)=23P8

となっています(大丈夫でしょうか??^^)

こうなってしまえばしめたもんで

10人のメンバーの選び方times並べ方である25P10でこの式の値を割ってやればよく

5\times(6\times5)\times23P8\times8!/25P10

=5\times30/(25\times24)

=1/4

これが女性同士ペアが発生する確率ですから、求める確率は1-1/4=3/4(答)です。

計算機も何も要りませんね。受験問題でも十分解答可能だと考えます。

ダミーURL

http://google.co.jp/

◎質問者からの返答

回答ありがとうございます。だいぶわかってきました。

二項定理から、項の係数はわかるのですが、そこから23P8が求まる部分がちょっと難しいです。

下から6行目、10人のメンバーの選び方times並べ方、に見えるのですが、このtimesは「×」ですね?


4 ● rsc
●20ポイント

まず、全体25人で2人ずつ5組を作る場合の数は、

25C2*23C2*21C2*19C2*17C2 ・・・(1)

(女・女)の組が1つある場合の数は、

5C1*(6C2)*(23C2*21C2*19C2*17C2) ・・・(2)

(女・女)の組が2つある場合の数は、

5C2*(6C2*4C2)*(21C2*19C2*17C2) ・・・(3)

(女・女)の組が3つある場合の数は、

5C3*(6C2*4C2)*(19C2*17C2) ・・・(4)

∴求める確率は、余事象を取って、

1-{5C1*(6C2)*(23C2*21C2*19C2*17C2)+5C2*(6C2*4C2)*(21C2*19C2*17C2)+5C3*(6C2*4C2)*(19C2*17C2)}/(25C2*23C2*21C2*19C2*17C2)

=1-{5C1*(6C2)*(23C2*21C2)+5C2*(6C2*4C2)*(21C2)+5C3*(6C2*4C2)}/(25C2*23C2*21C2)

=1-{5*15*253*210+10*15*6*210+10*15*6}/(300*253*171)

=1-(3984750+189000+900)/12978900

=1-4174650/12978900=1-9277/28842=19565/28842

= 0.678351015879619999≒0.68

http://dummy

◎質問者からの返答

ううん。上の答と違いますね。しかし、これもあっているように見える・・・(汗汗)

どなたか解説をいただけないでしょうか。


5 ● ttrr
●30ポイント ベストアンサー

状況が混乱しています。

僭越ながら他の方の解答に指摘をさせていただきます。

もしも解答にしか興味がない、という方は一番下の『ここから解答』以降を

ご覧くださいませ。


『班に区別がある』という条件を見逃しているものと思います。

例えば(C')の式ですが、ある女性とある男性がペアになり、どの班に入るのかで

異なる数え方をしなくてはなりません。つまり同じ人とペアを組んでいても、そのペアに

どのように名前をつけるのかで別の班分けとするというのが、この『班に区別がある』

という条件なのです。


実は、この条件は、うまく数えあげる限り答には影響してきません(なんだよ?!)

つまり考えやすくするためのヒントだと考えてください。


しかし、totsuan様の解答では、この『班を区別しない』という条件が十分に実現されて

いないんですね。たとえば(A)の式、これは2人グループを5個作って「並べたときの」

場合の数になってしまっています。実際はこれの1/5!となるはずですね。

(B)?(G')にも同様の誤解があるようです。


(1)の式では班を区別し、その並び順をちゃんと考慮しているのですが

(2)以降で女性のペアが属する班をコンビネーションで表しています。

つまり、順番をちゃんと徹底して区別していない。


それから論理的に重大なミスがありますね。(2)の場合は(3)以降を論理的に包含します。

つまり、女性のペアが1組"以上"いる場合をrsc96074さまは(2)で数えていることになるのですが

その中に女性のペアが2組以上含まれる場合も含まれます。


しかし、このrsc96074様の解答は重要なアイディアを含んでいるように思います。

つまり女性ペアが1組以上いる場合のみを考えれば、余事象を考える以上正答が得られる

ということです。これは素晴しい。論理の勝利です。



この立場で考えれば、女性同士のペアが"1組以上"存在する確率は

(どのグループが女性同士のペアか)*(女性2人の選び方)*(残りの23人から男女気にせず2人ペアを4つ作る)

を割ることの(25人から男女気にせずに2人ペアを5つ作る場合の数)

ですから

5*6C2*23C2*21C2*19C2*17C2/(25C2*23C2*21C2*19C2*17C2)

分母と分子はきれいにキャンセルしていき

=5*6C2/25C2

=75/300

=1/4

余事象を考えて1-1/4=3/4(解)です。

なんと計算が4行!これは感動ですね?。

不要かとは思いますが、3番の解答がうまく表示されていなかったようなので

ダイアリーに解答を作っておきました。

http://d.hatena.ne.jp/ttrr/20080820/1219252422

こんな面倒くさい計算は必要ないと今や分かったわけですがね!


他の方、いかがでしょう?

◎質問者からの返答

たびたびありがとうございました。よくわかりました。

「班に区別がある」という条件はなくても結論に影響しなかったんですね。でも数え上げるときに組み合わせか順列で徹底的に一貫させなくてはならないところが難しいですね。

じつは、私も乱数シミュレーションで0.76くらい?ってなったのですが、そもそもプログラミングに自信ないし(汗)、手計算とはぜんぜん合わないし・・・しばらく悩んでいた問題でした。

これで気持ちよく眠れそうです。

皆さん、ご協力ありがとうございました。とりあえず、ここで終了します。続きのコメントも歓迎します。


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